Действуй, мозг! Квантовая модель разума - Роман Бабкин

Дискуссия заставила математиков задуматься над более серьёзной проблемой: говоря о вычислимой или невычислимой истине, что мы подразумеваем под вычислением?

Состоит ли математика в действительности из дискретных кусочков-высказываний, которые мы комбинируем в разнообразные аксиомы и теоремы?

Или, скажем, под законом снятия двойного отрицания есть более фундаментальный, логический или математический, закон?

В 1931 году математический вундеркинд Курт Гёдель обнародовал свою знаменитую «теорему о неполноте арифметики».

Её следствия, в общем и целом, дали ответы на сформулированные выше вопросы. А эти ответы, в свою очередь, обеспечили неизбежность создание главного символа цифровой парадигмы – компьютера.

Существует несколько формулировок теоремы Гёделя. Ещё больше – изложений её доказательства. И совсем много – её следствий.

Ограничимся кратким пересказом, основанным на анализе теоремы выдающимся математиком Юрием Маниным (подробности см. в его работах

).

Формулируется теорема так: «Полного финитно описываемого набора аксиом в арифметике не существует».

Это утверждение можно выразить иначе, на более привычном языке.

Например:

Можно построить логически непротиворечивую теорию, но нельзя доказать её истинность.

Тогда такое следствие:

Какими бы логичными ни казались, скажем, концепция души или рефлекторная теория мозга, нельзя сформулировать аргументы в пользу того, что они неопровержимо верны.

Или такая формулировка теоремы:

Выразить полностью какую-либо сложную научную теорию при помощи средств любого естественного языка невозможно.

И её следствие:

Если вы не разбираетесь в математике и не собираетесь этого делать, то в случае создания новой научной теории (например, Теории Всего) вы её никогда не поймёте.

Чтобы пояснить, почему формулировка и следствия теоремы Гёделя, выходят так далеко за пределы арифметики, разберёмся с терминами.

Все высказывания (как в математике, так и в любом естественном языке) могут быть неопределёнными и определёнными. О первых сказать, ложны они или истинны, нельзя. О вторых – можно.

Некоторой аналогией тут служит различие между открытыми и закрытыми вопросами. Если вам задают открытый вопрос (начинается с «как», «что такое», «почему» и т. п. ), вы не можете содержательно и определённо ответить, сказав «да» или «нет». Однако при ответе на закрытый вопрос («так ли это? », «это случилось там-то? » и т. д. ) только эти два варианта имеют смысл.

Таким образом, Гёдель заключил, что все аксиомы в математике – это определённые истинные высказывания (мы назовём их «первичными истинами»). А все, следующие из них высказывания, выраженные на каком-либо естественном языке, – определённые и истинные тоже («вторичные истины»).

Тогда формируются два множества: все «первичные истины» (множество с числом элементов n) и все «вторичные истины» (множество с числом элементов m).

Сформулированный Гёделем вопрос заключается в следующем: можно ли – всегда и во всех случаях – из «вторичной истины» вывести «первичную истину»?

Или так: содержатся ли в наших естественных языках уже все аксиомы, которые мы ещё не успели описать на языке математики?

Короче: существует ли такая формула (способ, правило), которая всегда выводит n из m?

И совсем коротко: n = m?

Курт Гёдель использовал доказательство от обратного и начал с предположения, что n = m. Примерная схема рассуждений представлена на рисунке 10.

Получилось, что всегда и строго n> m.

Итак, Гёдель доказал, что абсолютных, сформулированных людьми, истин не существует: ни в математике, ни, тем более, в естественных языках (интуиционисты удовлетворенно кивнули).

Вместе с тем, он ясно показал, что существует некий, возможно, универсальный процесс создания аксиом – как в математике, так и в естественных языках (формалисты продолжили верить).

Этот универсальный процесс создания аксиом – не что иное, как вычисление. (Джордж Буль думал также, однако именно Гёдель в подтверждение тезиса привел весомые аргументы. )

При этом вычисление может производиться любым, имеющим к этому процессу подходящие инструменты, созданием. В том числе – искусственным устройством.

Через пять лет после появления теоремы о неполноте арифметики Алан Тьюринг опубликовал статью, в которой описал то, что сейчас мы называем компьютером.

Нужно иметь в виду, что представленная в этой работе математическая метафора, «машина Тьюринга», не только и не столько абстрактная модель механического вычислительного устройства.

Это, прежде всего, модель вычислений, производимых человеком. В самом начале статьи читаем: «Мы можем сравнить человека в процессе вычисления (in the process of computing) какого-либо действительного числа с машиной, которая ограничена конечным числом состояний…».

Тьюринг математически описал биологического вычислителя (англ. computor). Точнее: детально изложил процесс арифметических вычислений так, как, по его мнению, это происходит, в общем, у обычного человека, взявшего в руки тетрадку в клеточку и карандаш для решения какой-либо задачки.

Человек вписывает в клеточки начальные символы или цифры; глядя на текущую клеточку, производит в уме элементарную операцию по их преобразованию (складывает, вычитает, умножает, делит); записывает полученный результат в соседнюю клеточку; продолжает последовательное вычисление в соответствие с порядком, который сам же наметил.

Иными словами, он, как сказал бы Гёдель, переводит первоначальное неопределённое высказывание в определённое, затем – в другое определённое и т. д.

Если в качестве символьной системы для записи в клеточки выбрать бинарный код, а в качестве набора управляющих операций – бинарную логику, то получится общая схема вычислений. Получится механический computer, имитирующий язык и логику живого computor.

Как мы обсуждали в начале главы, Алан Тьюринг не считал, что computer может полностью заменить computor. Здесь поясним это утверждение более обстоятельно.

Дело в том, что механический вычислитель не способен имитировать произвольное построение порядка вычислений. Он не создаёт алгоритм сам. Ему всегда требуется образец.

В какой последовательности применять бинарную логику к бинарным символам решает тот, кто вписывает символы в клеточки. Или даёт указания, как это делать: составляет программу машинных действий, даёт искусственному вычислителю образцы алгоритмов.

Это человек.

Заметим, что это прямое следствие теоремы Гёделя.

Применяя строгие механические формулы, которые ссылаются только на себя, истинно-определённое не выводится (или, по Тьюрингу, не вычисляется). Индуктивная проверка есть не универсальный, а специальный инструмент. Не фундаментальный закон, а технология.

Припомним: следуя бинарной логике Буля, мы избежали сомнительного удовольствия ковыряться в противоречивых смыслах, спрятанных в высказывании «Все не люди не смертны». Как нам это удалось? Мы действовали по алгоритму: вычитание – умножение – сложение. Только такой порядок обеспечил определённый и осмысленный результат.

Если б мы нарушили последовательность или, не дай бог, принялись бы, подобно средневековым схоластам, резонерствовать на тему «кто такие „не люди“? », «что такое смерть? », «что такое жизнь? » и т. п., нам пришлось бы, чтобы прийти к согласию, провести бесконечное число наблюдений.

Но, даже если б мы сделали это, хотя бы в уме, и пришли к некой, абсолютной, истине, которая бы воспринималась нами как полный и окончательный ответ, разъясняющий суть этих понятий, то через некоторое время пришлось бы снова взяться за уточнение – ввязаться в новый диспут.

Ведь, как показал Гёдель, всегда остаётся вероятность, что такие сложные и многозначные понятия, как, например, «люди» и «жизнь», могут дополниться новыми фактами и смыслами. И определить/вычислить их до конца не удастся никогда.

Раз так, то и машина Тьюринга не может этого сделать.

Точнее: она будет это делать, т. к., хоть эти высказывания (числа, функции, задачи) и невычислимы, тем не менее, они вполне реальны. С ними можно производить арифметические операции.