Постепенно (сильно не сразу), впрочем, выяснилось, что приведенная формула хорошо работает, пока нет быстрых движений, а сама гравитация не адски сильная. В случае «быстрых» и «сильной» приходится довольно радикально менять взгляды на устройство тяготения (прогулка 6), но в Солнечной системе мы окружены «медленными» и «слабой», за одним-единственным астрономическим исключением: это движение планеты Меркурий вокруг Солнца, которое очень немного, но все же отличается от предсказанного по Ньютону (и которое у нас будет еще много поводов обсудить). Эти отличия свидетельствуют, что закон тяготения в форме (1.1) все же не является точным. Средства наблюдений, имевшиеся во времена Ньютона, не позволяли заметить отклонения в движении Меркурия, но у Ньютона были независимые основания для некоторого беспокойства за свой закон тяготения, исходя из того, что мы сейчас бы назвали проблемой передачи информации. Предположим, что Солнце по какой-либо причине внезапно начинает двигаться с ускорением в направлении какой-нибудь выбранной звезды. (Реализовать такое крайне непросто, но это не запрещено законами природы, а физические законы должны корректно описывать явления вне зависимости от того, в людских ли силах эти явления осуществить.) Спрашивается, как скоро Земля почувствует изменения в силе притяжения со стороны Солнца? Каким образом Земле передастся информация о том, где Солнце? Проблема с законом тяготения в виде формулы (1.1) в том, что если продолжить применять ее «как написано» (а что еще делать?!) и в этом гипотетическом случае, то мы вынуждены будем заключить, что изменения силы притяжения передаются к Земле (и вообще куда угодно) мгновенно. Это называется «действие на расстоянии»: эффект мгновенно передается через пустоту. Действие на расстоянии определенно не нравилось Ньютону:

Тот факт, что гравитация должна быть внутренним, существенным образом присуща материи так, чтобы одно тело воздействовало на другое на расстоянии через пустоту без посредничества чего бы то ни было еще, способного передавать воздействие или силу от одного тела к другому, представляется мне таким колоссальным абсурдом, что, как я полагаю, никто со сколько-нибудь развитым пониманием философских вопросов в него не впадет. Гравитация должна вызываться каким-либо агентом, действующим постоянно и в соответствии с определенными законами; но вопрос о том, быть этому Агенту материальным или нематериальным, я оставил на Усмотрение моих читателей^[16].

Ньютон подозревал наличие Агента

Судя по этому фрагменту (который кажется мне гениальным из-за намека на совершенно неизвестную в то время форму материи – поле), Ньютон понимал, что отгаданный им закон не может быть последним словом в описании гравитации. Тем не менее ему пришлось постулировать закон природы, в котором говорится о силе гравитационного притяжения между двумя малыми кусками массы в зависимости от разделяющего их расстояния, но вообще ничего не сообщается о том, как гравитация распространяется через пространство – грубо говоря, как «движется» сама гравитация (в нашем изложении эта история тоже далеко впереди). Для всех тел Ньютон сформулировал закон движения, в котором ключевую роль играет изменение (количества движения) во времени, но в его законе гравитации не предусмотрена возможность какого-либо изменения гравитации во времени, потому что время вообще не участвует в формулировке этого закона (это статический закон). Ньютон не мог не видеть этого недостатка своей теории, но никаких данных, которые хотя бы отдаленно подсказывали, в каком направлении искать ответ, в то время не было. Hypotheses non fingo^[17].

*****

Уравнения движения. Закон природы «сила – это темп изменения количества движения» традиционно называется вторым законом Ньютона. Его еще часто называют уравнением движения или уравнениями движения. Вот как получается уравнение, например, для Марса. Солнце притягивает Марс с силой, которая зависит от расстояния между Марсом и Солнцем. Но оно-то и неизвестно, ведь задача как раз и состоит в том, чтобы узнать, как положение планеты зависит от времени. А как мы вообще применяем уравнения для решения задач? Мы делаем вид, что неизвестное нам известно, обозначаем его какой-нибудь буквой (например, но совершенно не обязательно, x) и стараемся переписать условие задачи, используя эту букву. В случае с Марсом мы поступаем точно так же, только буква кодирует не неизвестное нам число, а неизвестное нам поведение, т. е. функцию времени. (И таких букв/функций вообще-то три, когда движение происходит в трехмерном пространстве.) Условие задачи, которое надо использовать, чтобы составить уравнение, – это и есть второй закон Ньютона: мы совершаем с неизвестной функцией два разных действия, что дает две разные вещи, но их нужно приравнять. Во-первых, мы записываем выражение для силы; она зависит от расстояния, а потому и от искомого положения планеты по отношению к Солнцу. Во-вторых, мы берем темп изменения количества движения, в данном случае – темп изменения скорости планеты (умноженной на массу). Но сама скорость планеты – это темп изменения ее положения. Итак, мы выразили две разные величины через (пока неизвестное) положение планеты, изменяющееся со временем. Ньютон же говорит нам, что эти две разные величины равны друг другу. Все, что происходит в мире, происходит так, что они совпадают. Поэтому мы принимаемся за выяснение, как должно себя вести положение планеты в зависимости от времени, чтобы записанное равенство действительно было равенством. Это и выражают словами «решить уравнения движения».

Разумеется, не все стрелы летят по одной и той же параболе даже в отсутствие сопротивления воздуха, а планеты не сидят все на одной-единственной эллиптической орбите. Кроме собственно закона движения, важно и то, как я запустил стрелу (куда направил и с какой скоростью) и где именно находился и с какой скоростью двигался Марс, скажем, в 00:00:00 GMT 1 января 2000 г. Эти данные удачно называются начальными условиями. Они включают положения и скорости всего, что движется, в некоторый момент времени, который условно считается начальным. Решая уравнения движения для конкретных систем, мы каждый раз задаемся какими-то начальными условиями. Для разгоняющегося самолета это положение в начале полосы и нулевая скорость. Используя уравнения движения с учетом тяги, сопротивления воздуха в зависимости от скорости и подъемной силы в зависимости от скорости, мы можем определить, где и когда самолет оторвется от полосы.

Для сложных систем, как правило, ответ невозможно выразить в виде функции времени, записанной на бумаге обозримым образом. В таких случаях говорят, что «уравнения движения нельзя решить точно», но в этой фразе нет никакого глубокого философского смысла; это довольно технический момент, к тому же стимулирующий развитие как приближенных математических методов, так и компьютерных вычислений. Но для одинокой планеты, обращающейся вокруг звезды, по прекрасному математическому везению уравнения движения можно решить точно, и именно это Ньютон и проделал, с выдающимися последствиями.

Уравнения движения для одной планеты можно решить точно

*****

Больше чем Кеплер. Ко временам Ньютона законы Кеплера можно было воспринимать как экспериментальный факт, т. е. результат наблюдений. Привнесенные в эту историю Ньютоном математика и дополнительная догадка о том, как действует гравитация, воспроизвели эллипсы для планет. Три закона Кеплера перестали быть разрозненными высказываниями и приобрели логическую связь между собой: все три оказались следствиями закона движения и закона тяготения. Слово «следствие» здесь означает математическую неизбежность: если верны второй закон Ньютона и закон тяготения Ньютона, то никак по-другому планеты двигаться не могут^[18]. Точнее говоря, могут, но только не совсем планеты (которые одни только и входили в предмет вычислений Кеплера), а тела, прилетающие извне Солнечной системы и улетающие куда-то прочь из нее. Здесь произошло очередное маленькое чудо: с помощью логического анализа (математики) познание вышло за текущие пределы наблюдений. Математический вывод законов Кеплера в большой степени поддержал уверенность в том, что и догадки по поводу законов неплохи, и математика выбрана правильно. А затем та же математика стала для нас проводником, указывая на новые, ранее не наблюдавшиеся виды движения. Для тел вблизи Солнца их оказалось три (вместе с эллипсами), если не считать движения по прямой точно в направлении Солнца^[19]. И буква, и дух метода исследования мира по схеме «причина – следствие» говорят, что нет никакой возможности принять одни выводы и отказаться от других – неважно, что другие виды движения не наблюдались. Вот все виды движения под действием притяжения к центральному телу (рис. 1.5).

Рис. 1.5. Орбиты: эллипс, гипербола и парабола

Эллипсы. Во-первых (Кеплер был абсолютно прав!), эллипсы: математически точные эллипсы. Движение в разных частях эллипса происходит быстрее или медленнее точно так, как это утверждал Кеплер, вот только после Ньютона это утверждение перестало быть отдельным законом природы, а стало следствием закона движения и закона тяготения. Точно так же и третий закон Кеплера потерял самостоятельность.

Для Кеплера имеющиеся орбиты планет были уникальными. Для Ньютона, получившего контроль над тем, как эти эллипсы вырастают из законов и начальных условий, очевидно, что эллипсы могут быть очень разными: сильнее или слабее вытянутыми («совсем не вытянутый» эллипс – это попросту окружность). Математически тот или иной эллипс, по которому движется планета, определяется начальными условиями: тем, в каком направлении и с какой скоростью планета двигалась в выбранный «начальный» момент. Чтобы предсказать поведение реальных планет, надо взять эти начальные условия из наблюдений (определить скорость может оказаться сложнее, чем определить положение; но нужно и то и другое). Решение уравнений движения с такими начальными условиями дает в точности те траектории, которым реальные планеты и следуют, и мы уверенно предсказываем, что с ними будет в будущем^[20]. Для воображаемой планеты начальные условия можно выбрать любыми, и эллипсы получатся самые разные: например, сильно вытянутые. Настоящие планеты в Солнечной системе таких вытянутых эллипсов не демонстрируют, но и здесь оказалось, что если математика показывает наличие решения определенного вида, то стоит поискать его в физическом мире. Кометы – это тела, которые движутся по сильно вытянутым орбитам (не каким-то, а именно эллипсам, пока они не портятся за счет прохождения вблизи массивных планет). При движении по вытянутому эллипсу тело проводит бо́льшую часть времени далеко от Солнца, где его не разглядеть, и лишь за короткое время и с высокой скоростью пролетает вблизи Солнца. Именно тогда комета становится видна с Земли (которая, не будем забывать, и сама достаточно близка к Солнцу – примерно в 10 раз ближе, чем Сатурн, самая дальняя из известных во времена Ньютона планет, и в 30 раз ближе, чем Нептун)^[21].

«Начала» Ньютона вышли в 1687 г., а в 1705-м его уравнения были использованы для предсказания, причем с размахом на полвека вперед: в 1758 г. будет наблюдаться комета. Эта комета сейчас называется 1P/Halley. В этом обозначении 1P указывает на ее порядковый номер (один!!) и ее «периодичность», а Halley – это в русской традиции Галлей, хотя точнее было бы Хэли или Холи. (Пример другой кометы: 67P/Churyumov – Gerasimenko; здесь пусть англоговорящие мучаются с тем, как произнести.) Галлей – современник Ньютона, сыгравший немалую роль в том, чтобы «Начала» вообще увидели свет, – не открыл свою комету, он «всего лишь» заявил, что кометы, наблюдавшиеся ранее, в частности в 1531, 1607 (при Кеплере!) и 1682 гг., – это одна и та же комета. Заявление не было произвольной догадкой, но подтверждалось результатами вычислений того, как большие планеты влияют на орбиты комет (как именно они портят те самые вытянутые эллипсы). На основе вычислений, пользуясь законами Ньютона, Галлей и предсказал следующее появление кометы в 1758 г. Сбывшееся предсказание означало бы, что в Солнечной системе есть по крайней мере одно тело, не являющееся планетой, которое обращается вокруг Солнца.