Максимальная удельная мощность современных первичных двигателей (первичных источников механической энергии) в начале XVII века составляла 1000 Вт у паровых двигателей. Им на смену пришли водяные турбины (между 1850 и 1900 годами), а затем показатели мощности поднялись до рекордных более 1 ГВт у паровых турбин (рис. 1.8).

Рис. 1.8. Эстафетный рост мощности самых крупных стационарных первичных двигателей (Smil, 2017b). Пересекающийся логистический рост номинальных мощностей паровых двигателей, водяных турбин и паровых турбин дает временный гиперболический рост на семь порядков за 300 лет

Картину можно расширить, включив в нее ракетные двигатели, использовавшиеся только в течение коротких периодов времени: мощность ракеты Saturn C 5, осуществлявшей полет «Аполлона» на Луну, составляла около 2,6 ГВт (Tate, 2012). Аналогично максимальная скорость передвижения возросла со скорости человеческого бега (10–12 км/ч – скорость гонцов) и скорости всадников (средняя скорость 13–16 км/ч) до скорости парусных судов (клиперы середины XIX века в среднем развивали скорость около 20 км/ч, а максимальная достигала 30 км/ч), поездов (максимум около 100 км/ч до 1900 года) и пассажирских самолетов на поршневых двигателях (чья скорость возросла с 160 км/ч в 1919 году до 550 км/ч в 1945 году) и, наконец, реактивных самолетов (более 900 км/ч с конца 1950-х годов).

В обоих случаях ускоряющийся рост был достигнут за счет феномена эстафеты, когда накладывающиеся друг на друга логистические (самоограничивающие) кривые дают впечатляющую восходящую огибающую кривую. Очевидно, что эстафета не может продолжаться бесконечно, так как в конце концов приведет к невозможно высоким темпам роста, будь то удельная мощность или скорость… Как и в случае с мировым населением, временная гиперболическая огибающая кривая в конце концов трансформируется в логистическую траекторию. Можно сказать, что это уже произошло, если рассматривать технический прогресс с практической, реалистичной точки зрения, а не как последовательность максимальных показателей.

Очевидно, что построение огибающей кривой максимальной скорости с помощью накладывающихся друг на друга логистических кривых скорости лошадей, парусников, поездов, автомобилей, самолетов и ракет демонстрирует прогресс видов транспорта, которые не являются последовательно заменяемыми. Массовый городской транспорт эволюционировал от конных экипажей до моторизированных дорожных транспортных средств и подземных поездов, но мы не будем передвигаться по городу на реактивных самолетах. Верно как раз обратное, поскольку средняя скорость городского движения с 1960-х годов сократилась почти во всех крупных городах, и ее удвоение невозможно, даже если каждое транспортное средство будет частью синхронизированной, автоматизированной городской системы (если только не убрать в городах все перекрестки, что невозможно с точки зрения инфраструктуры существующих городов). Средняя скорость скоростных поездов возросла лишь незначительно с момента первого запуска в 1964 году и, опять-таки, вероятнее всего, миллиарды людей, пользующихся поездами, не будут путешествовать на сверхзвуковых скоростях.

Типичная скорость крупных контейнерных судов (30–40 км/ч) ненамного превышает типичную скорость клиперов XIX века. Конечно, их грузоподъемность на несколько порядков выше, но скорость морских перевозок не испытала гиперболического роста, и не существует реалистичных перспектив, что этот основополагающий вид транспорта, сделавший возможным современную экономическую глобализацию, войдет в новый век с радикально повысившейся скоростью. Эксплуатационная скорость последнего самолета Boeing 787 (913 км/ч) почти на 7 % ниже, чем у первого гражданского реактивного самолета Boeing 707, выпущенного в 1958 году (977 км/ч). И перспектива миллиардных авиапассажирских перевозок на сверхзвуковых скоростях также отсутствует. Кажущаяся гиперболической огибающая кривая максимальных показателей на деле мало что говорит нам о реальных траекториях скоростей, создавших современную экономику путем передвижения миллиардов людей и миллиардов тонн сырья, продуктов питания и потребительских товаров.

То же самое неизбежно верно для других огибающих кривых растущих технических возможностей. Самые большие ракеты могут производить гигаватты энергии за очень короткий период старта, но это не имеет отношения к мощности великого множества машин, работающих на благо современной цивилизации. Большинство электродвигателей в нашей технике имеет мощность меньше, чем может обеспечить хорошо взнузданная лошадь: стиральным машинам нужно 500 Вт, а откормленная лошадь легко дает 800 Вт. Типичная или условная мощность паровых турбин в крупных электростанциях остается стабильной с 1960-х годов: на новых угольных или газовых электростанциях преобладают установки мощностью 200–600 МВт, а турбогенераторы мощностью 1 Гвт используются в основном на более крупных атомных электростанциях. И мощность типичных автомобилей немного выросла лишь потому, что они стали тяжелее, а не потому, что им нужно больше мощности, чтобы доехать от одного светофора до другого или поддерживать разрешенную скорость на автостраде – для равномерной езды со скоростью 100 км·ч по ровной дороге достаточно силы тяги приблизительно в 11 кВт/ч на тонну массы автомобиля (Besselink et al., 2011). И снова синтетическая восходящая траектория состоит из несопоставимых прогрессий, не подразумевающих единообразной тенденции к постоянному росту замещающих феноменов.

В истории существует достаточно примеров технических достижений, не демонстрирующих автоматического, строго последовательного ускорения показателей. Сталевары пользовались мартеновскими печами почти век после того, как довели их применение до совершенства, а проводной дисковый телефон мало изменился со времен своего появления в 1920-х годах и внедрения кнопочных моделей в 1963 году (Smil, 2005; 2006b). И перспективы долгосрочной траектории любого гиперболического роста на Земле не вызывают сомнений: он должен либо прекратиться, либо перейти в ограниченную прогрессию, которая может стать частью гомеостатического сосуществования человека и биосферы, включая конечный верхний предел содержания информации во внешней памяти (Dolgonosov, 2010).

Модели ограниченного роста

В первую очередь это траектории жизни: биосферная масса перерабатываемых питательных веществ допускает невероятное разнообразие видовых генетических выражений и мутаций, но ставит фундаментальное ограничение на производительность первичной продукции (фотосинтеза) и, следовательно, на накопление вторичной продукции (гетеротрофного метаболизма разнообразных организмов от микробов до самых крупных млекопитающих). Эти ограничения проявляются в процессе внутри- и межвидовой конкуренции микроорганизмов, растений и животных за ресурсы путем хищничества и вирусной, бактериальной и грибковой инфекции, и все многоклеточные организмы имеют внутренние пределы роста, обусловленные апоптозом – запрограммированной гибелью клеток (Green, 2011).

Ни одно дерево не растет до небес, как и ни один артефакт, структура или процесс; и модели ограниченного роста характеризуют развитие машин и технических возможностей так же, как описывают рост населения и расширение империй. Все процессы распространения и внедрения неизбежно должны соответствовать этой модели: не важно, быстрый или медленный рост демонстрирует траектория на начальном этапе – в конце концов за ним последует значительное замедление темпов роста по мере того, как процесс асимптотически приближается к насыщению и часто достигает его (иногда после многих десятилетий распространения) всего за несколько процентов, даже за доли процентов до максимума. В 1880 году ни в одном доме не было электричества, но сколько зданий в городах Запада не подключено к электричеству сегодня?

Учитывая распространенность феноменов, демонстрирующих ограниченный рост, неудивительно, что многие исследователи стремились вписать их в разнообразные математические функции. Два основных класса траекторий ограниченного роста включают S-образный (сигмоидальный) и ограниченный экспоненциальный рост. В десятках работ даны описания оригинальных производных и последующих модификаций этих кривых. Они рассмотрены в обширных обзорах (Banks, 1994; Tsoularis, 2001), а лучший обзор, пожалуй, приведен в таблице S1 у Мирвольда (Myhrvold, 2013), где систематически сравниваются уравнения и ограничивающие условия для более 70 нелинейных функций роста.

S-образный рост

S-образные функции описывают множество естественных процессов роста, а также внедрение и распространение инноваций, будь то новые промышленные методы или потребительские товары. Изначально медленный рост ускоряется в точке нижнего изгиба, за которым следует быстрый подъем, темп которого в конце концов замедляется, формируя второй изгиб, за которым следует замедленный подъем, так как рост становится минимальным и значения приближаются к максимальной границе конкретного параметра или к полному насыщению рынка. Наиболее известная и распространенная функция с S-образной траекторией описывает логистический рост.

В отличие от экспоненциального (неограниченного) роста, увеличение темпа которого пропорционально текущему значению, относительное приращение логистического (ограниченного) роста уменьшается по мере приближения растущего значения к максимально возможному уровню, который в экологических исследованиях обычно называют предельной нагрузкой. Подобный рост интуитивно кажется нормальным:

Обычно население медленно растет с асимптотического минимума, затем быстро множится и медленно движется к нечетко определенному асимптотическому максимуму. Два конца кривой роста населения в целом определяют всю кривую между ними: чтобы так начаться и так закончиться, кривая должна пройти через точку перегиба, это должна быть S-образная кривая (Thompson, 1942, 145).

Формальное определение логистической функции восходит к 1835 году, когда Адольф Кетле (1796–1874; рис. 1.9), бельгийский астроном и в то время ведущий статистик Европы, опубликовал революционную работу под названием Sur l’homme et le développement de ses facultés, ou Essai de physique sociale («О человеке и развитии его способностей, или Эссе по социальной физике»), где отметил невозможность продолжительного экспоненциального роста любого населения (Quetelet, 1835).

Кетле предположил, что силы, противоположные неограниченному развитию и росту населения, возрастают пропорционально квадрату скорости, с которой оно возрастает, и попросил своего ученика, математика Пьера Франсуа Ферхюльста (1804–1849; рис. 1.9), дать формальное решение и затем применить его к лучшим доступным статистическим данным. Ферхюльст согласился и сформулировал первое уравнение, выражающее ограниченный рост населения в короткой публикации в альманахе Correspondance Mathématique et Physique («Работы по математике и физике») (Verhulst, 1838; перевод на английский язык опубликован Vogels et al., 1975). Логистическая модель описана с помощью дифференциального уравнения

где r – скорость максимального роста, а K – максимально достижимая величина, известная в исследованиях экологии и населения как предельная нагрузка.

Рис. 1.9. Адольф Кетле и Пьер Франсуа Ферхюльст. Гравюра на стали из коллекции изображений XIX века, принадлежащей автору

Чтобы проверить возможность применения уравнения роста, Ферхюльст сравнил ожидаемые результаты с относительно короткими периодами данных переписей населения во Франции (1817–1831), Бельгии (1815–1833), графстве Эссекс (1811–1831) и России (1796–1827), и хотя он обнаружил «очень точное» совпадение с данными по Франции, он сделал верный вывод (учитывая малый объем данных), что «только будущее откроет нам истинный образ действий сдерживающей силы…» (Verhulst, 1838, 116). Семь лет спустя в более объемной работе он решил «назвать кривую логистической» (Verhulst, 1845, 9). Он никогда не объяснял, почему назвал ее именно так, но в период его жизни термин использовался во Франции для обозначения искусства вычислений в целом; возможно, также он использовал слово «логистический» в военном значении (управление резервами), подразумевая арифметическую стратегию (Pastijn, 2006).