Хотя все волны Фурье имеют одинаковую форму, они отличаются двумя характеристиками – насколько быстро (это называется частотой) и насколько сильно (это называется амплитудой) происходят колебания. Вернемся к рисунку с часами. Как часто расположены гребни волны, оставленные секундной стрелкой? Она делает один оборот в минуту, так что собственная частота этой волны – один полный волновой цикл в минуту. Цикл – правильное слово. По мере того как секундная стрелка делает полный оборот по циферблату, красная точка, прикрепленная к ее кончику, нарисует полный цикл волны на шкале времени. За один полный оборот получается один волновой цикл.

Кончик минутной стрелки изобразит такую же кривую, но более медленно. Волна минутной стрелки вздымается только один раз в час. Ее частота – один цикл в час, что в шестьдесят раз медленнее, чем у секундной стрелки. Третья волна – волна часовой стрелки. Она имеет самую низкую частоту из трех – один цикл за 12 часов.

Цифра в названии радиостанции KCSM Jazz 91,1 – частота (в миллионах циклов в секунду) радиоволны, которую использует эта станция. А к каждой электрической розетке подведен переменный ток с частотой волны 60 (в США) или 50 (в России и большинстве стран Европы) циклов в секунду.

Волны от секундной, минутной и часовой стрелок отличаются не только частотой, но и амплитудой. Я нарисовал минутную стрелку чуть короче, чем секундную, поэтому гребни ее волн будут немного ниже. Поскольку максимальная высота гребня волны равна ее амплитуде, амплитуда волн минутной стрелки ниже, чем у волн секундной. Часовая стрелка еще короче, поэтому амплитуда ее волны – самая низкая из трех.

Для теории Фурье волна может иметь любую частоту и любую амплитуду, если это синусоидальная волна – развертка окружности. На примере часов мы рассмотрели создание трех таких волн, а рисунок 1.2 показывает еще три изящных по форме синусоидальных волны, отличающихся друг от друга только количеством колебаний и высотой, то есть частотой и амплитудой. Все они имеют одинаковую форму точно так же, например, как и все треугольники. Фигура, чтобы мы назвали ее треугольником, должна иметь три стороны, а волне, чтобы называться волной, достаточно быть разверткой окружности.

Рис. 1.2

Отметим еще одну особенность волн на этом рисунке: по левому краю изображения выровнены разные точки их цикла. Верхняя волна начинается с пика, средняя – с максимального спада, а нижняя – с точки между ними. Если вы сдвинете любую из них влево или вправо, ее частота и амплитуда останутся прежними, но изменится положение относительно других волн. Это важно, потому что для вычислений Фурье нам придется складывать волны. Мы получим разные результаты, если волны будут выровнены по-разному.

Для описания положения волны мы используем слово фаза. Фазы луны отлично описывают, на каком этапе цикла находится луна: полнолуние или новолуние, растущая или убывающая луна между ними. Волна циклична, поэтому у нее тоже есть фазы. На левом краю рисунка 1.2 верхняя волна находится в фазе полнолуния, а средняя – новолуния. Нижняя же волна только начинает убывать. Изменение начальной фазы сдвигает всю волну влево или вправо. Но обратите внимание, что если вы переместите ее на полный цикл, то снова получите исходную волну. Их невозможно будет отличить друг от друга. Таким образом, указания одного места в одном цикле – то есть значения фазы – достаточно, чтобы указать положение всей волны. Для целей Фурье волна может находиться в любой фазе.

Теперь мы можем осознать значимость замечательной идеи Фурье: большую часть информации об окружающем мире – включая все, что мы можем видеть или слышать, а также многое другое – можно описать как сумму таких волн, и больше ничего. Частоты Фурье – это частоты волн из такого описания. Их гармония – это музыка мира. Эта идея поражает масштабностью и противоречит нашей бытовой интуиции, поэтому ее сложно понять и принять. Давайте начнем с музыки – знакомой физической реальности, которая поможет доступнее раскрыть глубочайшую идею Фурье.

Звуки

Музыка состоит из волн разных частот – и только из них. Конечно же, их называют звуковыми волнами. Струны скрипки вибрируют с разной частотой; то же самое происходит и с фортепиано. По сравнению с неторопливой секундной стрелкой, вращающейся с частотой один цикл в минуту, любая нота на фортепиано – звуковая волна демонической скорости от колебания струны, вибрирующей с частотой 262 цикла в секунду. Кларнет или флейта звучат на определенных частотах, как и каждая из труб органа. Лирико-колоратурное сопрано поет на более высокой частоте, чем альт, и гораздо выше, чем баритон или бас. Мы говорим, что сопрано поет выше, а не на большей частоте, только из-за особенностей восприятия музыки нашим мозгом. Физика создания звука здесь точно такая же. Аккорд – это, по сути, несколько волн – скажем, три или четыре, – воспроизведенных одновременно или, как мы говорим, сложенных вместе. Хор состоит из множества голосов разной высоты, а оркестр – из множества инструментов с разной частотой, от контрабаса до флейты-пикколо.

Нарастание громкости от пианиссимо до фортиссимо отражает амплитуду звуковых волн. Чем выше амплитуда, тем громче звук. Массивная труба органа – с педалью, выжатой до пола, – сотрясает собор ужасом гласа Господня. Сильнее ударьте по клавише пианино или увеличьте громкость радио, и амплитуда звуковых волн возрастет. Неудивительно, что именно усилитель – это важнейший компонент радио или стереосистемы.

Идея Фурье кажется естественной, когда вы описываете музыку, но сила этой идеи полностью осознается, только если понять, что из звуковых волн состоят все звуки, а не только музыка. Имеется в виду вообще все, что мы слышим, от низкочастотного грохота до пронзительного свиста. И даже больше – ведь, как известно, собаки слышат более высокие частоты, чем мы. Для нас главное в великой идее Фурье заключается в том, что любой звук состоит из звуковых волн различных частот, которые складываются друг с другом, а потом интерпретируются нашими ушами и мозгом как «Весна священная» Стравинского, как голос любимого ребенка или шум строительной площадки.

На рисунке 1.3 в виде волн Фурье с различной частотой и амплитудой изображено слово «yes» (ось времени направлена вправо). Часть «y» содержит самые низкие частоты и самые высокие амплитуды – это ударная часть слова. Для части «е» в середине характерны самые низкие амплитуды и смешанные частоты. А шипение «s» отличается низкими амплитудами и самыми высокими частотами.

Звуковые волны на самом деле состоят из ритмичных сжатий воздуха или, иначе говоря, волн давления. Возьмем для примера низкочастотный динамик в вашей акустической системе – вы сразу ощутите его вибрацию на громких басовых тонах. Легко вообразить, как его быстро движущаяся мембрана сотрясает воздух перед собой. Пульсации распространяются от поверхности низкочастотного динамика, так сказать, подталкиваются им. Более громкий звук соответствует более сильной вибрации и – соответственно – более интенсивному воздействию на воздух.

Мы можем непосредственно ощутить эти волны давления. Представьте лоурайдер, который медленно едет по бульвару Креншоу в Лос-Анджелесе, а от музыки из его мощного бумбокса содрогаются оконные стекла ближайших домов.

Рис. 1.3

Очень громкая низкочастотная звуковая волна, сталкиваясь с препятствием, преобразует волны давления в физические вибрации, как будто трясется сама земля. Но на самом деле эти сотрясающие землю волны точно такие же, как и те, что проникают нам в уши и заставляют наши барабанные перепонки вибрировать в унисон с низкочастотным динамиком, бумбоксом или басовой трубой органа. Затем хитроумная система из маленьких косточек – с восхитительными названиями «молоточек», «наковальня» и «стремечко» – передает эти вибрации во внутреннее ухо, где тысячи крошечных волосковых клеток реагируют на определенные частоты. Они передают информацию о частоте вибрации напрямую в мозг.

Нормальный человеческий слух может различать все частоты от 20 до 20 000 циклов в секунду. В научной литературе принято обозначать «циклы в секунду» наименованием «герц» (сокращенно Гц), но я – для наглядности – буду использовать более длинную фразу. Есть и другие звуки, недоступные человеческому уху, например ультразвуковой свист, который собака слышит, а мы нет.

Но что представляют собой те волны, которые мы воспринимаем зрением, – те, что приведут нас к пикселям? На каких частотах вибрирует зрение?

Наполеон Бонапарт

Через год с небольшим после рождения Фурье на острове Корсика, расположенном на одной воображаемой линии с Парижем и Осером, но примерно в ста милях к юго-востоку от материковой Франции, родился Наболион Буонапарте. Корсика стала французской в промежутке между появлением на свет двух этих мальчиков, так что Буонапарте едва ли считался французом. Его имя обрело знакомое нам звучание гораздо позже, когда ему было уже за двадцать и он решил назваться на французский лад, превратившись в Наполеона Бонапарта.

Бонапарт учился в Королевской военной школе в Бриен-ле-Шато. Точно такую же посещал Фурье в Осере примерно на 60 миль южнее. Таким образом, Бонапарт получил, в сущности, ту же подготовку в области естественных и математических наук, что и Фурье. Полученных знаний хватило, чтобы пробудить у Бонапарта неизменный интерес к математике. С математиками, не только с Фурье, он общался на протяжении всей жизни. В геометрии даже есть теорема Наполеона, названная в его честь.

Бонапарт, выбрав карьеру офицера, продолжил образование в элитной военной школе в Париже. Подробности обучения нас не касаются, но интересно взглянуть на результаты его выпускных экзаменов. Экзаменатор охарактеризовал Бонапарта как человека с «исключительными познаниями в математике». Этим экзаменатором был Пьер-Симон Лаплас, которого иногда называли французским Исааком Ньютоном.

Бонапарт впоследствии сделал нечто, поражающее воображение современного американца: он назначил Лапласа членом французского сената. Известный физик и математик – в кресле сенатора!

Встреча Фурье с Бонапартом

После падения Робеспьера революционное французское правительство не только выпустило Фурье из тюрьмы, но и предоставило ему престижную должность профессора недавно созданной Политехнической школы в Париже – сейчас это что-то вроде Массачусетского и Калифорнийского технологических институтов, вместе взятых. Наконец-то он попал на самую вершину: Фурье преподавал математику в Париже и общался с корифеями науки, такими как Лаплас. Это позволило привлечь внимание амбициозного Бонапарта, который искал ученых мужей, готовых сопровождать его в Египетском походе. Экспедиция обещала быть жаркой – как в климатическом, так и в политическом отношении.

Бонапарт недавно покорил Италию, разгромив австрийскую армию, и вернулся в Париж триумфатором. Его популярность в народе и авторитет среди военных настораживали французское правительство. Так что в 1798 году оно с радостью отправило его (а особенно его армию) в Египет для новых завоеваний. Именно там Фурье и Бонапарт окончательно сблизились.

Подражая своему кумиру Александру Македонскому, Бонапарт взял с собой целую плеяду французских интеллектуалов (своих ученых мужей), в том числе молодого профессора Фурье из Политехнической школы. Обратите внимание на разительный контраст с нашим временем. Можете ли вы представить, что вместе с американскими войсками в Ираке или Афганистане высадятся известные математики и археологи?