# Коэффициенты модели: скорость передачи болезни (beta) и скорость выздоровления (gamma)

beta = 0.3

gamma = 0.1

# Решение системы дифференциальных уравнений

solution = odeint(sir_model, [S0, I0, R0], t, args=(beta, gamma))

# Построение графика

plt.plot(t, solution[:, 0], label='Подверженные') # Подверженные

plt.plot(t, solution[:, 1], label='Инфицированные') # Инфицированные

plt.plot(t, solution[:, 2], label='Выздоровевшие') # Выздоровевшие

plt.xlabel('Время (дни)')

plt.ylabel('Доля населения')

plt.title('Модель SIR')

plt.legend()

plt.grid(True)

plt.show()

```

Этот код реализует SIR-модель для моделирования распространения инфекционного заболевания в популяции. Он использует библиотеки NumPy, SciPy и Matplotlib для выполнения численных вычислений, решения дифференциальных уравнений и визуализации результатов.

Комментарии в коде объясняют каждую часть программы: определение функции `sir_model` для системы дифференциальных уравнений SIR-модели, установка начальных условий и временных параметров, решение дифференциальных уравнений с помощью функции `odeint`, построение графика, показывающего изменение численности каждой группы (подверженные, инфицированные, выздоровевшие) с течением времени.

После выполнения кода, мы получаем графики, отображающие динамику эпидемии во времени. В результате мы увидим три кривые, представляющие количество подверженных инфекции (S), инфицированных (I) и выздоровевших (R) с течением времени.

– График для подверженных инфекции (S): На этом графике мы увидим, как количество подверженных инфекции уменьшается с течением времени, поскольку люди заражаются и становятся иммунными к болезни.

– График для инфицированных (I): Этот график показывает, как количество инфицированных меняется во времени. На начальном этапе количество инфицированных может расти, затем оно может достигнуть пика и начать снижаться по мере того, как люди выздоравливают от болезни.

– График для выздоровевших (R): На этом графике мы видим, как количество выздоровевших от болезни растет с течением времени, поскольку инфицированные люди выздоравливают и становятся иммунными к болезни.

Эти графики позволяют нам визуально оценить динамику эпидемии, а также определить основные параметры, такие как скорость распространения болезни и эффективность мер по ее контролю. Это позволяет принимать более обоснованные решения в области общественного здравоохранения для борьбы с эпидемией.

3. SEIRS-модель является вариантом SEIR-модели, которая в свою очередь является математической моделью для изучения распространения инфекционных заболеваний в популяции. В SEIR-модели популяция разделяется на четыре категории: подверженные инфекции (Susceptible), инфицированные (Exposed), инфицированные и инфекциозные (Infectious), и выздоровевшие или имеющие иммунитет (Recovered).

В SEIRS-модели добавляется дополнительная категория – Recovered with temporary immunity, что означает, что выздоровевшие имеют временный иммунитет перед тем, как вернуться в состояние подверженности инфекции. Это позволяет учесть факторы, такие как временное уменьшение иммунитета после выздоровления или длительный период времени, когда человек может быть вновь подвержен заражению после излечения.

Одна из ключевых особенностей SEIRS-модели – учет временного интервала между инфицированием и появлением симптомов заболевания. Этот интервал может варьироваться в зависимости от конкретного инфекционного заболевания и может быть важным фактором при прогнозировании распространения болезни и планировании мер по ее контролю. В целом, SEIRS-модель предоставляет более реалистичное описание динамики распространения инфекционных заболеваний в сравнении с более простыми моделями, не учитывающими временные аспекты и динамику иммунитета в популяции.

Давайте представим, что у нас есть небольшая популяция, состоящая из 1000 человек, и они подвержены вспышке инфекционного заболевания, например, гриппа. Мы будем использовать SEIRS-модель для иллюстрации динамики этой вспышки.

Начальные условия: Первоначально, все 1000 человек в популяции считаются подверженными инфекции (Susceptible).

Ввод параметров: Мы определяем параметры модели, такие как коэффициент передачи инфекции, коэффициент инкубационного периода, коэффициент выздоровления и длительность временного иммунитета.

Экспозиция (Exposed): Некоторые из подверженных инфекции начинают инкубационный период, в течение которого они инфицированы, но еще не заразны для других. Допустим, в первый день 50 человек становятся экспонированными (Exposed).

Инфекция (Infectious): По прошествии определенного времени после инкубационного периода, экспонированные становятся инфекциозными и могут заразить других. Предположим, что каждый инфицированный в среднем заражает 1,5 человека.

Выздоровление (Recovered with temporary immunity): После некоторого времени инфицированные выздоравливают и приобретают временный иммунитет к болезни. Например, допустим, что средняя продолжительность болезни составляет 7 дней.

Потеря временного иммунитета: После определенного времени временный иммунитет уменьшается, и ранее выздоровевшие снова становятся подверженными инфекции.

Повторение цикла: Процесс повторяется, пока большинство популяции не будет либо заражено, либо приобретет иммунитет.

Модель позволяет нам проследить динамику распространения болезни во времени, учитывая временные аспекты, такие как инкубационный период и временной иммунитет, что делает ее более реалистичной и полезной для прогнозирования и управления эпидемиологической ситуацией.

Рассмотрим пример простой реализации SEIRS-модели на языке Python с использованием библиотеки `numpy` для вычислений и `matplotlib` для визуализации:

```python

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

def seirs_model(beta, sigma, gamma, delta, susceptible, exposed, infectious, recovered, days):

N = susceptible + exposed + infectious + recovered

S = [susceptible]

E = [exposed]

I = [infectious]

R = [recovered]

for _ in range(days):

new_exposed = beta * S[-1] * I[-1] / N

new_infectious = sigma * E[-1]

new_recovered = gamma * I[-1]

new_susceptible = delta * R[-1]

susceptible -= new_exposed

exposed += new_exposed – new_infectious

infectious += new_infectious – new_recovered

recovered += new_recovered – new_susceptible

S.append(susceptible)

E.append(exposed)

I.append(infectious)

R.append(recovered)

return S, E, I, R

# Параметры модели

beta = 0.3 # Скорость инфекции

sigma = 0.2 # Скорость инкубационного периода

gamma = 0.1 # Скорость выздоровления

delta = 0.05 # Скорость временного иммунитета

susceptible = 990

exposed = 10

infectious = 0

recovered = 0

days = 160

# Запуск модели

S, E, I, R = seirs_model(beta, sigma, gamma, delta, susceptible, exposed, infectious, recovered, days)

# Визуализация результатов

plt.figure(figsize=(10, 6))

plt.plot(S, label='Susceptible')

plt.plot(E, label='Exposed')

plt.plot(I, label='Infectious')

plt.plot(R, label='Recovered')

plt.xlabel('Days')

plt.ylabel('Population')

plt.title('SEIRS Model')

plt.legend()

plt.grid(True)

plt.show()

```

Этот код создает функцию `seirs_model`, которая моделирует SEIRS-модель в течение определенного количества дней. Затем задаются параметры модели и вызывается функция `seirs_model` с этими параметрами. Результаты моделирования визуализируются с помощью библиотеки `matplotlib`.

На графике, полученном в результате выполнения этого кода, можно увидеть изменение численности каждой категории популяции (подверженные инфекции, инфицированные, выздоровевшие) в течение времени (в днях).

– "Susceptible" (подверженные инфекции) показывает, как меняется количество людей, которые могут быть инфицированы.

– "Exposed" (инфицированные, но еще не заразные) показывает количество людей, которые уже заразились, но еще не стали инфекциозными.

– "Infectious" (инфициозные) отображает количество людей, которые являются инфекциозными и могут передавать болезнь.

– "Recovered" (выздоровевшие) показывает количество людей, которые уже выздоровели от болезни и временно имеют иммунитет.

График позволяет визуализировать динамику эпидемии: как изменяется число подверженных инфекции, инфицированных, выздоровевших с течением времени в моделируемой популяции.

4. SIS-модель – это математическая модель, которая описывает динамику распространения инфекционных заболеваний в популяции, учитывая только переход между инфицированными и восприимчивыми состояниями, без учета выздоровления или приобретения иммунитета. В этой модели популяция делится на две основные категории: инфицированные (Infected) и восприимчивые (Susceptible).

Основное предположение SIS-модели состоит в том, что после инфицирования человек остается восприимчивым к заболеванию снова, после того как вылечится или станет носителем болезни. Это означает, что в модели нет категории выздоровевших или имеющих иммунитет.

Математически SIS-модель описывается системой дифференциальных уравнений, которые описывают скорость изменения численности инфицированных и восприимчивых во времени, учитывая параметры, такие как скорость заражения и скорость выздоровления. Эта модель может быть использована для прогнозирования динамики эпидемии, определения оптимальных стратегий контроля и оценки эффективности мер по борьбе с распространением инфекционных заболеваний.

Модель SIS, хоть и является простой, играет важную роль в изучении динамики распространения инфекционных заболеваний в популяции. Ее преимущество заключается в доступности и понятности как для исследователей, так и для практиков в области общественного здравоохранения. Универсальность этой модели позволяет применять ее для анализа различных эпидемических сценариев, не требуя сложных вычислений или данных.

Однако упрощенный характер модели означает, что она не учитывает некоторые ключевые аспекты реальной динамики заболевания. Основным ограничением является отсутствие учета приобретения иммунитета после инфекции или вакцинации. Это может привести к недостаточно точным прогнозам и рекомендациям при планировании мер по контролю за распространением болезни.

В то же время модель SIS остается ценным инструментом для идентификации рисков и прогнозирования тенденций в эпидемиологии. Она позволяет легко оценить влияние различных параметров, таких как скорость инфицирования и выздоровления, на динамику заболевания в популяции. Несмотря на свои ограничения, модель SIS остается важным инструментом для исследования основных механизмов распространения инфекционных заболеваний и разработки стратегий по их контролю.

SIS-модель представляет собой важный инструмент для изучения динамики распространения инфекционных заболеваний и принятия решений в области общественного здравоохранения, особенно там, где не предполагается приобретение стойкого иммунитета после выздоровления.

Рассмотрим пример реализации SIS-модели на языке Python с использованием библиотеки `numpy` для вычислений и `matplotlib` для визуализации:

```python

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

def sis_model(beta, gamma, susceptible, infected, days):

N = susceptible + infected

S = [susceptible]

I = [infected]

for _ in range(days):

new_infections = beta * S[-1] * I[-1] / N

new_recoveries = gamma * I[-1]

susceptible -= new_infections

infected += new_infections – new_recoveries

S.append(susceptible)

I.append(infected)

return S, I

# Параметры модели