В примере, показанном в табл. 2.3 и охватывающем 22 дня, стандартная доходность находится в столбце D, а логарифмическая – в столбце E. Различия кажутся небольшими, но средние имеют значения 0,00350 и 0,00339. В этом месяце стандартная доходность оказывается больше на 3,3 %, но в следующем месяце ситуация может стать обратной. Чистая стоимость активов (net asset value – NAV), активно используемая в этой книге, представляет собой совокупную доходность за период и чаще всего начинается со значения NAV0 = 100.

Таблица 2.3. Расчет доходности и чистой стоимости активов на основе дневных прибылей и убытков

Доходность в годовом исчислении

Сложные проценты – это самая могущественная сила во вселенной.

В большинстве случаев лучше всего нормализовать доходность путем ее приведения к годовому исчислению. Это особенно полезно при сравнении результатов двух тестов, когда каждый охватывает свой период времени. При приведении к годовому исчислению важно знать, что:

● к правительственным инструментам применяется годовая база, равная 360 дням (на основе 90-дневных кварталов);

● для большинства других данных, которые могут изменяться ежедневно, характерна годовая база 365 дней, включая выходные дни;

● торговую доходность лучше рассчитывать на основе 252-дневной годовой базы, это типичная продолжительность торгового года в США, в Европе чуть меньше. В этой книге используется годовая база в 252 дня.

Доходность в годовом исчислении (annualized rate of return – AROR) на основе простого процента для инвестиции в течение n дней равна

где E0 – начальный капитал или остаток на счете, En – капитал в конце периода n, а 252/n – годовая база в виде десятичной дроби. Доходность в годовом исчислении на основе сложного процента равна

Обратите внимание, что AROR или R (капитал) является значением в годовом исчислении, а r – это дневная или однопериодная доходность. Кроме того, форма представления результатов в этих двух расчетах разная. В случае простой доходности увеличение на 25 % выглядит как 0,25, а в случае сложной доходности такой же прирост записывается как 1,25.

Если к однопериодной доходности применить логарифмический метод, то доходность в годовом исчислении будет равна сумме доходностей, деленной на количество лет:

Пример этого можно найти в строке AROR столбца F предыдущей таблицы. Обратите внимание на то, что при использовании логарифмического метода доходность в годовом исчислении оказывается намного ниже, чем при использовании деления и сложных процентов. В настоящей книге везде используется сложная доходность, которая подлежит раскрытию в США.

Вероятность доходности с использованием сложного процента

Вероятность достижения целевой доходности можно оценить с помощью стандартного отклонения и сложной ставки доходности. В следующем расчете^[1] среднее арифметическое непрерывной доходности равно ln(1 + Rg), при этом предполагается, что доходность имеет нормальное распределение.

где z – нормализованная переменная (вероятность);

T – целевое значение, или целевая доходность;

B – начальная стоимость инвестиции;

Rg – среднее геометрическое периодической доходности;

n – количество периодов;

s – стандартное отклонение логарифмов количеств 1 плюс периодическая доходность.

Риск и волатильность

Хотя думать о доходности всегда приятно, не следует забывать об оценке риска. В связи с этим следует упомянуть о двух экстремальных рисках. Первым из них является событийный риск, который может принимать форму непредсказуемого скачка цен. Худший его вариант – катастрофический риск, приносящий непоправимый ущерб или крах. Второй риск связан с чрезмерным использованием заемных средств, или левериджа в портфеле, что приводит к краху в случае череды неудачных сделок. Риски, связанные со скачками цен и левериджем, подробно описываются в последующих главах.

Измерение нормального риска имеет важнейшее значение для сравнения результативности двух систем. Оно применимо к любому ряду доходностей, включая доходность всего портфеля, для сравнения его с ориентиром, таким как доходность S&P 500 или какого-нибудь облигационного фонда. Самым распространенным методом оценки риска является стандартное отклонение (σ) доходности (r), о чем рассказывалось в этой главе ранее. Приведение риска к годовому исчислению позволяет применять его к годовой доходности:

Риск также называют волатильностью. Когда мы говорим о целевой волатильности портфеля, то имеем в виду процент риска, представленный одним стандартным отклонением доходности в годовом исчислении. Например, в предыдущей таблице в столбце D показаны дневные доходности. Стандартное отклонение этих доходностей показано в строке «Стд. откл.» и составляет 0,01512. Это означает, что существует 68 %-ная вероятность, что дневная доходность или убыточность будет меньше 1,862 % и больше 1,162 % (среднее ± 1 стандартное отклонение). Однако целевая волатильность всегда соотносится с годовым риском, и, чтобы преобразовать дневную доходность в годовую, мы просто умножим ее на Тогда дневное стандартное отклонение доходности в размере 1,512 % становится годовой волатильностью 23,8 %, которая также показана в нижней части нашей таблицы. Поскольку нас волнует только риск убытка, существует 16 %-ная вероятность, что в течение года мы можем потерять 23,8 %. Чем больше стандартное отклонение доходности, тем больше риск.

Бета

Бета (β) обычно используется в индустрии ценных бумаг для выражения взаимосвязи риска отдельного рынка с индексом или портфелем. Если бета равна нулю, никакой взаимосвязи нет. Если она положительна, она представляет относительную волатильность данного рынка по сравнению с индексом. А именно,

0 < β < 1 – волатильность отдельного рынка меньше, чем у индекса;

β = 1 – волатильность отдельного рынка такая же, как у индекса;

β > 1 – волатильность отдельного рынка больше, чем у индекса;

β < 0 – рынок и индекс движутся в противоположных направлениях.

Бета 1,25 означает, что волатильность данной акции на 25 % больше, чем у индекса, а также то, что, если индекс вырастет на 4 %, акция – на 5 %.

Чтобы найти бету, надо рассчитать линейную регрессию отдельного рынка по индексу. Она равна наклону отдельного рынка, деленному на наклон индекса. Дополнительная величина альфа является свободным членом решения. Результат можно получить, используя Excel, подробное описание см. в главе 6. Общая формула беты выглядит так:

где A – отдельный рынок, а B – портфель или индекс. Надежность беты выше, когда корреляция доходностей А и В высокая.

Риск убытка

Поскольку стандартное отклонение симметрично, появление любого ряда скачков в прибыли интерпретируется как увеличение риска. Некоторые аналитики полагают, что правильнее измерять риск, ограничиваясь только случаями просадки. Использование одних только убытков называют нижними частичными моментами, где нижние означает риск снижения доходности, а частичные означает, что используется только одна сторона распределения доходности. Легче всего увидеть это на примере полудисперсии, которая измеряет дисперсию, находящуюся ниже среднего или некоторого целевого значения,

Однако чаще всего для определения риска убытков используются дневные просадки, т. е. разница между пиковой величиной капитала и его текущим значением, когда второе оказывается меньше первого. Например, если в день t капитал системы вырос до $25 000, а затем был получен дневной убыток $500, за которым последовал еще один убыток $250, у нас будет два входных значения, 500/25 000 и 750/25 000, или 0,02 и 0,03. В этом расчете используются только те прибыли, которые ниже непосредственно предшествующих им пиков. Лучшая альтернатива – рассчитать стандартное отклонение этих дневных просадок, что также позволит вам определить вероятность такой просадки.

Использование одних лишь просадок для предсказания других просадок влечет за собой проблему, которая состоит в том, что такой расчет ограничивает количество рассматриваемых случаев и отбрасывает вероятность влияния прибыли выше нормальной на повышение общего уровня риска. В ситуациях, когда количество данных в тестах ограничено, использование совокупности прибылей и убытков дает более надежные результаты.

Полное описание методов измерения результатов можно найти в главе 21 «Тестирование систем», а также в разделах главы 23 «Измерение доходности и риска» и «Индекс язвы».

Индекс

Индексы предназначены для того, чтобы обобщать индивидуальные особенности. При этом данные часто сглаживаются, чтобы извлечь из них полезную информацию. В последние годы индексы завоевали огромную популярность. Если в начале 1980-х гг. на фьючерсных рынках торговались лишь Value Line и S&P 500, то теперь существуют фьючерсные контракты на фондовые индексы, представляющие рынки любой промышленно развитой страны. Создание фондов, таких как SPDR (прозванных «спайдерами», S&P 500 ETF SPY), Diamonds (DIA, на основе промышленных индексов Dow Jones) и Qs (QQQ, на основе NASDAQ 100), дало трейдерам эффективный инструмент для инвестирования в широкий рынок вместо отдельных акций. Отраслевые секторы, такие как фармацевтика, здравоохранение и технологии, поначалу были представлены только взаимными фондами, а теперь и ETF. Все эти индексные рынки имеют дополнительное преимущество, заключающееся в том, что на них нет ограничений в виде необходимости заимствовать акции для короткой продажи или правила «плюс тик» (если его восстановят), требующего совершения коротких продаж только на росте цены.

Индексные рынки позволяют как индивидуальным, так и институциональным участникам осуществлять ряд специализированных инвестиционных стратегий. Они могут покупать и продавать широкий рынок, могут переключаться с одного сектора на другой (ротация секторов) или продавать переоцененный сектор, покупая широкий рыночный индекс (статистический арбитраж). Институты находят очень желательным, с точки зрения и затрат, и налогов, временно хеджировать свои портфели активов, продавая фьючерсы на S&P 500 вместо того, чтобы ликвидировать позиции в акциях. Они могут также хеджироваться, используя опционы на фьючерсы S&P или SPY. Индекс упрощает процесс принятия решений в торговле.

Индекс также играет важную роль как ориентир результативности. Большинство инвесторов полагает, что торговая программа привлекательна только в том случае, если ее соотношение доходности и риска лучше, чем у портфеля, состоящего на 60 % из акций (представленных индексом S&P 500) и 40 % из облигаций (Lehman Brothers Treasury Index). Если ваши результаты лучше, чем у индекса, значит, вы создали альфу и превзошли рынок. Термин кризисная альфа применяется по отношению к тем годам, когда значительные прибыли на фьючерсных рынках компенсируют значительные потери на фондовом рынке, как это произошло в 2008 г.