Terra Urbana. Города, которые мы п…м - Александр Поляков

II. Магия троичности и социальное пространство

1. От Пифагора до триангуляции: число, действительность и культура

Ибо, как говорят и пифагорейцы, целое и всё определяются через число три: начало, середина и конец составляют число целого и при этом троицу.

    Аристотель «О небе» (268а: 15)

Математика и культура

Изобретение числа, если такое событие вообще когда-нибудь имело место, произошло очень давно. Уже в третьем тысячелетии до Рождества Христова египтяне умели считать как минимум до 100 000 – знак для этого числа существовал в эпоху Древнего царства (XXVIII–XXI века до н. э. ) [73 - Ван дер Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. М., 2007, с. 40. ]. Однако вплоть до культуры Древней Греции математические знания носили инструментально-прикладной характер и были далеки от впервые приданной им пифагорейской традицией абстрактно-доказательной формы, которая впоследствии стала привычной и сейчас кажется нам настолько естественной, что нам сложно представить иное.

Мощь и самостоятельность математического знания стала настолько очевидной в классической античности (V–IV века до н. э. ), что уже Аристотель и его поколение древнегреческих авторов создавали миф о египетской и вавилонской математике (в смысле развитого доказательного знания), унаследованный последующей традицией и до сих пор вносящий сумбур и путаницу в понимание происхождения и статуса математики в древности. Между тем, «Аристотель исходил из совершенно превратных представлений. И действительно, геометрические задачи известных нам текстов, насколько мы можем себе представить, были все поставлены практикой. Пока еще не было нужды в доказательствах или построениях, но нужно было вычислить площадь земельного участка, величину уклона или объем зернового амбара» [74 - Ван дер Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. М., 2007, с. 19–20. ].

Показательным в этой связи является заочный спор выдающегося историка математики Бартеля Ван дер Вардена с выдающимся математиком Георгом Кантором. Ван дер Варден критикует широко распространенное представление о том, что египтяне знали пифагоровы числа 3, 4 и 5 (т. е. простейший случай последовательности чисел a, b, c, удовлетворяющих правилу a

+b

=c

) и использовали их при построении храмов и пирамид, углы при основании которых «большей частью действительно являются прямыми». Это представление восходит к предположению Кантора, который, по мысли Ван дер Вардена, просто перенес свое современное представление на устройство мышления и культуры древних Египтян: «…я (Кантор) не могу представить себе никакого другого способа получения прямого угла при помощи натянутых веревок, как посредством трех веревок длиной в 3, 4 и 5, которые образуют треугольник. Отсюда следует, что египтяне должны были знать этот треугольник» [75 - Ван дер Варден Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. М., 2007, с. 13. ].

Мы остановились на этом примере по нескольким причинам. Во-первых, он хорошо иллюстрирует «естественность» переноса привычных нам представлений на способ рассуждения других людей и обществ: интуитивно мы считаем их такими же, и нам крайне сложно даже просто всерьез допустить, что они видят мир и пользуются им по-другому, не говоря уж о том, чтобы понять, как именно они это делают. Во-вторых, несмотря на методологическую правоту ван дер Вардена, последующие исследования подтверждают историческую правоту отвергаемой им гипотезы Кантора – египтяне, судя по имеющимся археологическим данным, действительно знали эту простейшую тройку пифагоровых чисел (известных также как «египетские числа») и правило построения с их помощью прямоугольного треугольника. Но в то же время, в-третьих, из умения египтян пользоваться простейшим случаем треугольников Герона (треугольников с целочисленными сторонами и площадями) вовсе не следует владение ими теоретическим правилом, известным нам как теорема Пифагора.

Наконец, в-четвертых, – и это самое важное – спор о египтянах и пифагоровых числах иллюстрирует интуицию «технического», практического характера математики (как минимум на этапе, предшествующим ее оформлению в самостоятельную теоретическую дисциплину). Эта черта, по-видимому, связанная с происхождением математики из решения повседневных, бытовых инженерных или иных практически значимых задач (см. выше), закрепилась в характерном для европейских культур двойственном понимании математики как одновременно метода разума и «языка природы» – метафора, со времен высказавшего ее Галилея [76 - «Философия написана в величественной книге (я имею в виду Вселенную), которая постоянно открыта нашему взору, но понять ее может лишь тот, кто сначала научится постигать ее язык и толковать знаки, которыми она написана. Написана же она на языке математики, и знаки ее – треугольники, круги и другие геометрические фигуры, без которых человек не смог бы понять в ней ни единого слова: без них он был бы обречен блуждать в потемках по лабиринту». Галилей Г. Пробирных дел мастер. М., 1987, с. 41. ], поддерживавшая веру ученых в способность познать природу: ведь если она написана на том языке, на котором свойственно думать нашему разуму, она определенно может быть прочитана. И если бы руки инженеров были также точны и совершенны, как руки Творца, совершенство творения которого хоть и неповторимо, но зато умопостигаемо, то умозрительная математика совпала бы с материальным порядком действительности: «Так как в работе ремесленники довольствуются лишь малой степенью точности, то образовалось мнение, что Механика тем и отличается от Геометрии, что все вполне точное принадлежит Геометрии, менее точное относится к Механике. Но погрешности заключаются не в самом ремесле или искусстве, а принадлежат исполнителю работы: кто работает с меньшей точностью, тот худший механик, и если бы кто-нибудь смог исполнять работу с совершеннейшей точностью, тот и был бы наилучшим из всех механиков» [77 - Ньютон И. Математические начала натуральной философии. Оптика. Оптические лекции (избранные места). Л., 1929, с. 29. ]. С цитированного рассуждения о связи механики, геометрии и физики начинается предисловие к самому значительному сочинению эпохи европейской Научной революции – «Математическим началам натуральной философии» И. Ньютона.

Практико-хозяйственное отношение к математическим знаниям в египетской и вавилонской культурах, активно использовавших достаточно сложные математические инструменты, но не предполагающее их превращение в предмет специальных размышлений и формальных доказательств, резко отделяет эти традиции от привычной нам математики, зарождающейся в Древней Греции: «…вавилонская математика так и не перешагнула порога донаучного мышления» [78 - Нейгебауер О. Точные науки в древности. М., 2003, с. 62. ].

Напротив, древнегреческая математика быстро превращается в особую форму теоретического знания, которое в классическую эпоху рассматривалось как обособленное по предмету и крайне важное методически (не даром девизом Академии Платона было «не геометр да не войдет» – знание начинается с математики! ). «Коренное преобразование математики» принято связывать с Пифагором (около 570–490 г. до н. э. ), которому «принадлежит первое построение геометрии как дедуктивной науки» [79 - История математики с древнейших времен до начала XIX столетия. В 3-х тт. Ред. А. П. Юшкевич. Т. 1, М.: Наука, 1970, с. 66. ]. И хотя современные исследователи выражают сомнения в аутентичности значительной части приписываемых Пифагору воззрений, в частности знаменитой числовой онтологии, о которой речь пойдет ниже, даже если они являются позднейшим изобретением Аристотеля и платоников [80 - Жмудь Л. Я. Пифагор и ранние пифагорейцы. М., 2012, с. 340–341. ], это никак не меняет их значения.