Бесконечная сила

Страница 4

Такая стратегия подойдет для всего, что можно представить в виде бесконечного нарезания. Такие бесконечно делимые непрерывные объекты называют континуумами, от латинского глагола continere, образованного от приставки con- «с, вместе» и слова tenere «держать». Подумайте об окружности, стальной балке подвесного моста, миске супа, остывающего на кухонном столе, параболической траектории летящего копья или продолжительности вашей жизни. Форма, объект, жидкость, движение, временной интервал – все это льет воду на мельницу анализа и все это непрерывно или почти непрерывно.

Обратите внимание на определенный акт творческой фантазии. В действительности суп и сталь не непрерывны. В масштабах обычной жизни, возможно, они и кажутся таковыми, но на уровне атомов или суперструн – нет. Анализ игнорирует неудобства, создаваемые атомами и прочими неразделимыми объектами, не потому, что их не существует, а потому, что полезно представить, что их нет. Как мы увидим, анализу присуща склонность к полезным выдумкам.

Говоря в целом, те виды сущностей, которые анализ моделирует континуумами, включают практически все, что можно представить. Ученые использовали анализ для описания того, как мяч непрерывно катится по наклонной поверхности, как луч солнца проходит сквозь воду, как непрерывный поток воздуха вокруг крыла удерживает в полете колибри или самолет и как концентрация частиц вируса ВИЧ в крови пациента непрерывно снижается в течение нескольких дней после начала комбинированного лечения. Во всех случаях стратегия одна и та же: разделить сложную непрерывную задачу на бесконечное множество более простых частей, решить их по отдельности, а затем соединить опять.

Теперь мы наконец готовы изложить главную идею.

Принцип бесконечности

Чтобы пролить свет на любые непрерывные формы, объекты, движения, процессы или явления – какими бы дикими или сложными они ни казались, – переосмыслите их как бесконечный набор более простых частей, проанализируйте, а затем сложите полученные результаты, чтобы понять исходное целое.

Голем бесконечности

Единственная неприятность во всем этом – необходимость справляться с бесконечностью. И это проще сказать, чем сделать. Хотя тщательно контролируемое применение бесконечности – секрет анализа и источник его колоссальной предсказательной силы, одновременно это и его самая большая головная боль. Подобно чудовищу Франкенштейна или голему из еврейской мифологии, бесконечность склонна ускользать из-под контроля хозяина. Как и в любой истории о гордыне, монстр неизбежно обращается против своего создателя.

Создатели анализа осознавали такую опасность, но все же считали, что без бесконечности не обойтись. Конечно, время от времени чудовище приходило в бешенство, оставляя за собой парадоксы, путаницу и философский хаос. Однако после каждого такого случая математикам всегда удавалось усмирить монстра, рационализировать его поведение и вернуть к работе. В итоге все всегда заканчивалось хорошо. Анализ давал правильные ответы, даже когда его создатели не могли объяснить, почему. Желание обуздать бесконечность и использовать ее силу – это та нить, которая проходит через всю 25-вековую историю матанализа.

Если учесть, что математика обычно изображается точной и безупречно рациональной, все эти разговоры о желаниях и заблуждениях могут показаться неуместными. Она рациональна, но не всегда изначально. Творение интуитивно, понимание приходит позже. В истории анализа логика всегда отставала от интуиции чаще, чем в других областях математики. И это заставляет чувствовать, что эта тема особенно человечна и дружелюбна, а ее гении больше похожи на нас.

Кривые, движение и изменение

Принцип бесконечности организует рассказ об анализе вокруг какой-то методологической темы. Но анализ – это не только методология, но и загадки. Его развитию особенно способствовали три: загадка кривых, загадка движения и загадка изменения. Плодотворность их изучения доказала ценность чистого любопытства.

Задачи о кривых, движении и изменении на первый взгляд могут показаться неважными, а может, даже безнадежно заумными. Но они затрагивают настолько глубокие концептуальные вопросы, а математика так глубоко вплетена в ткань Вселенной, что их решение имело далеко идущие последствия для хода цивилизации и нашей повседневной жизни. Как мы увидим в следующих главах, мы пожинаем плоды этих исследований всякий раз, когда слушаем музыку в своих телефонах, делаем покупки в магазинах с помощью лазерных сканеров или находим дорогу домой благодаря GPS-навигатору.

Все началось с загадки кривых. Здесь я использую слово «кривые» в самом широком смысле – для обозначения любой изогнутой линии, изогнутой поверхности или изогнутого твердого тела – представьте себе резиновую ленту, обручальное кольцо, плавающий пузырь, контуры вазы или палку салями. Чтобы упростить вещи, ранние геометры, как правило, сосредоточивались на абстрактных, идеализированных версиях кривых форм и игнорировали толщину, шероховатости и текстуру. Например, математическая сфера представлялась бесконечно тонкой, гладкой, идеально круглой мембраной без толщины, неровностей или волосатости, как у кокосового ореха. Но даже при таких идеализированных представлениях изогнутые формы вызывали принципиальные трудности, поскольку там не было прямых. С треугольниками и квадратами проблем не возникало. С кубами тоже. Они состоят из прямых линий и плоскостей, соединенных между собой в углах. Нетрудно вычислить их периметр, площадь или объем. Такие задачи умели решать геометры всего мира – в Древнем Вавилоне и Египте, Китае и Индии, Греции и Японии. Но с округлыми формами дело обстояло гораздо хуже. Никто не знал, какова поверхность сферы или какой у нее объем. В древности даже вычисление длины окружности или площади круга представлялось невыполнимой задачей. Не было стартовой точки и прямых линий, от которых можно оттолкнуться. Все изогнутое казалось непостижимым.

Так начинался анализ. Он рос из любопытства геометров и разочарования в округлости. Круги, сферы и прочие изогнутые формы были Гималаями той эпохи. И не потому, что они ставили важные практические задачи, по крайней мере поначалу. Дело было в жажде приключений, характерной для человеческого духа. Подобно покорителям Эвереста, геометры хотели разобраться с кривыми просто потому, потому что они есть [23 - Когда альпинисту Джорджу Мэллори задали вопрос, зачем он хочет подняться на Эверест, он ответил: «Потому что он существует». Прим. пер. ].

Прорыв произошел благодаря идее, что кривые на самом деле состоят из прямых частей. Хотя это неправда, но можно сделать вид, что это так. Загвоздка была в том, что тогда эти части должны быть бесконечно малы и бесконечно многочисленны. Благодаря такой фантастической концепции родилось интегральное исчисление. Это самое раннее применение «принципа бесконечности». История его развития растянется у нас на несколько глав, но его суть в зародышевой форме мы можем изложить уже сейчас: если очень сильно увеличить окружность (или другую гладкую кривую), то часть, которую мы увидим под микроскопом, будет выглядеть как прямая линия. Так что в принципе можно вычислить длину кривой, сложив длины всех маленьких прямых кусочков. Чтобы выяснить, как именно это делать – нелегкая задача, – понадобились многовековые усилия величайших математиков человечества. В итоге коллективно (а иногда и в результате ожесточенного соперничества) они продвинулись по пути к решению загадки кривых. Побочными результатами, как мы увидим в главе 2 (#litres_trial_promo), стала математика, используемая для рисования реалистично выглядящих волос, одежды и лиц персонажей в компьютерной анимации и вычисления, необходимые пластическим хирургам для выполнения операций на лице виртуальных пациентов, прежде чем оперировать реальных.

Читать похожие на «Бесконечная сила» книги

Это книга о том, как одни современные технологии, соединяясь с другими технологиями, в корне преображают промышленность, розничную торговлю, рекламу, индустрию развлечений, образование и многие другие сферы нашей жизни. Причем этот процесс идет экспоненциально нарастающими темпами, придавая турбо-ускорение как самим переменам, так и их масштабам. Питер Диамандис и Стивен Котлер создали полную захватывающих подробностей дорожную карту ближайших лет. Какие новшества ждут нас уже завтра? Как будут

Многие пары занимаются сексом второпях, не давая себе возможности хорошо возбудиться, а потом задаются вопросом, куда же пропала магия из их сексуальной жизни. Или наоборот, усложняют процесс, утрачивая трепет и перестав получать удовольствие от процесса. Для хорошего секса нам всем необходим витамин «П» – принятие. Себя, партнера и тех условий, в которых вам обоим комфортно. Если хотите, это свод правил, и их нужно не столько соблюдать, сколько понимать. Стивен Снайдер, психотерапевт с

Нью-Йорк 40-х годов. Лилиан Пентикост самый известный частный детектив в городе, но здоровье начинает ее подводить. После знакомства с мисс Паркер, она решает нанять девушку в качестве помощницы. Ведь Уиллоджин обладает уникальным набором навыков: мастерски метает ножи, с завязанными глазами вскрывает любой замок и легко кладет на лопатки мужчин в два раза больше нее. Незаурядной парочке вскоре приходится расследовать дело о таинственном убийстве. В особняк Коллинзов, на вечеринку по случаю

Новая книга доктора Стивена Гандри, знаменитого кардиолога и кардиохирурга, нацелена на ускоренное изучение и практическое применение программы «Парадокс растений». Ее ключевым понятием являются лектины – белки, которые содержатся в злаках, многих фруктах и овощах, орехах, бобовых и молочных продуктах. При попадании в организм человека они вызывают сильные воспалительные реакции, которые могут привести к серьезным проблемам со здоровьем. Многие растительные продукты, которые считаются

Волна страшных убийств захватила небольшой американский город Дерри. Один за одним погибают дети, но полиция бессильна. Маньяк не оставляет следов, нет ни единой зацепки. Семеро одиннадцатилетних ребят решаются найти убийцу – жестокое нечто по имени Оно. Каждому из них предстоит пережить встречу с чудовищем, и никто из взрослых не придет на помощь. Ведь Оно – воплощение детских страхов, которое взрослые просто не способны увидеть.

Молодой учитель английского языка Джейкоб Эппинг никогда не думал, что сможет повлиять на события мирового масштаба. И даже в самых смелых фантазиях не мог вообразить, что в закусочной его приятеля Эла Темплтона находится портал в 1958 год… Но в жизни иногда происходят вещи куда более удивительные, чем самые странные фантазии. Эл – живое тому доказательство. Одержимый идеей предотвратить убийство президента Кеннеди в 1963 году, владелец закусочной отправился в прошлое, но не сумел дожить до

Парадокс долголетия – это способность умереть молодым в преклонном возрасте. Многие полагают, что это фантастика, но они ошибаются. Человек вполне может дожить до ста лет, чувствуя себя бодрым и энергичным, не ощущая хронической усталости и не посещая каждую неделю врачей. Более того, ни в чем себе особо не отказывая. В своей книге «Парадокс долголетия» Стивен Гандри рассказывает читателям, откуда взялись мифы о старении, почему то, что, по нашему мнению, должно сохранить молодость, только

Жители небольшого городка в ужасе: кто-то зверски убил и изнасиловал одиннадцатилетнего Фрэнка Питерсона. И этот кто-то – школьный учитель и тренер бейсбольной команды Терри Мейтленд. Его видели с Фрэнком в день преступления, а отпечатки пальцев Мейтленда найдены на месте убийства. Детектив Ральф Андерсон арестовывает маньяка, не дожидаясь окончания важного бейсбольного матча. Но вместо чистосердечного раскаяния Мейтленд заявляет о невиновности. В момент убийства его не было в городе! Это

Новая версия романа «Противостояние», с которым читатели познакомились в 1978 году. На этот раз захватывающая история мутации вируса гриппа и ужасающих последствий дополнена подробностями и разъяснениями действий героев, ранее неизвестными гранями характеров и более развернутой сюжетной линией. Книга о бескомпромиссной борьбе между жизнью и смертью, добром и злом. Из нелегкой схватки живыми смогут выйти лишь те, кто сумеет увидеть настоящего врага, не потеряет веры и человеческих качеств. Когда

Если верить статистическим данным, только в США ежегодно пропадает восемьсот тысяч детей. Большинство из них находятся, но тысячи – нет. Куда исчезают малыши и что с ними происходит? Пытаясь привлечь внимание широкой общественности к проблеме похищения детей, известный американский писатель Стивен Кинг предлагает свой вариант ответа. Фантастический? Да. Страшный? Безусловно! Правдоподобный? Кто знает… Все произошло мгновенно, за каких-то пару минут. Посреди ночи в доме на тихой улочке в