Определив скорость как отношение пути и времени и выработав метод измерения времени, Галилей приступил к выяснению законов движения падающих тел. Однако, так как его методы измерения времени были еще очень несовершенны и неточны, Галилей прежде всего попытался замедлить исследуемое движение падения введением наклонных плоскостей, а это, в свою очередь, поставило его перед необходимостью сравнить между собой падение тел по вертикали и по наклонным. Согласно определениям Аристотеля, из двух движущихся тел то имеет большую скорость, которое проходит за одно и то же время большее пространство, чем другое, или то же пространство, но в меньшее время. Соответственно считалось, что два движущихся тела обладают одинаковой скоростью, если они проходят равные пространства в равные промежутки времени.

Однако Галилея эти определения уже не удовлетворяли. Он свел скорость к отношениям, а с точки зрения отношений ничего не изменится, если «назвать скорости равными и тогда, когда пройденные пространства находятся в таком же отношении, как и времена, в течение которых они пройдены» [Галилей, 1948, с. 34].

Поскольку Галилей уже подвел понятие скорости под более широкое понятие отношения, сделанный им переход был вполне законен. Отношение , остается одним и тем же не только при s1 = s2 и t1 = t2, но и при s1 ≠ s2, если t1 и t2 меняются в соответственной пропорции. Другими словами, отношения с точки зрения математики равносильны.

Итак, имеется два определения равенства скоростей двух движущихся тел.

Первое: скорости двух тел равны, если за равные промежутки времени они проходят равные пространства.

Второе: скорости двух тел равны, если пространства, проходимые ими, пропорциональны времени прохождения.

Второе определение является обобщением первого, первое вытекает из второго и должно быть справедливым, если справедливо второе.

Вооруженный этими двумя определениями, Галилей приступает к сравнению конкретных случаев падения тел. Пусть по СВ и СА падают два одинаковых тела:

Рис. 4

Скорость тела, падающего по СВ, будет больше скорости тела, падающего по СА. Действительно, в течение того времени, в которое первое падающее тело пройдет всю СВ, второе пройдет на СА часть CD, которая будет меньше СВ. Отсюда мы можем сделать вывод, что тело движется с большей скоростью по вертикали, чем по наклонной, и кроме того, в соответствии с первым определением, – что скорости тел, падающих по наклонной и по вертикали, не равны.

Но если мы возьмем отношение времен падения по всей наклонной и всей вертикали, то оно окажется равным отношению длин наклонной и вертикали. Отсюда, в соответствии со вторым определением, мы можем сделать вывод, что скорости тел, падающих по наклонной и по вертикали, равны.

Таким образом, следуя рассуждению Галилея, мы получили два противоречащих суждения:

«Скорости тел, падающих по СА и СВ, равны».

«Скорости тел, падающих по СА и СВ, не равны».

Противоречие налицо. Что же делать? Выбросить одно из противоречащих положений? Но они оба справедливы. Выбросить одно из определений равенства скоростей? Но они тоже оба справедливы. В чем же дело?

Мы знаем, что Галилей начал с обобщения понятия скорости, подведя его под понятие отношения. Конечно, заданное им определение скорости как отношения пути ко времени только выявляло для сознания то отношение, которое всегда существовало в действительности и использовалось при сравнении движений в неосознанной или не полностью осознанной форме. В этом смысле определение понятия скорости не вносило ничего нового в само явление. Но оно позволило несколько изменить способ сравнения движущихся тел, а это должно было отразиться и отражалось на понятии «равноскоростные движения», изменяя его содержание и объем.

При первоначальном способе сравнения движений равноскоростными движениями могли оказаться, во-первых, равномерные движения, во-вторых, равномерно ускоренные движения с одинаковой начальной скоростью и одинаковым ускорением, сравниваемые от начальной точки их движения. Другие движения при этом способе сравнения могли оказаться равноскоростными лишь случайно.

Новое обобщенное определение равенства скоростей при определенном способе сравнения охватывало также равномерно-ускоренные движения с неравными ускорениями (если эти движения не имели начальных скоростей). Галилей, как мы знаем, начал со сравнения именно этих движений, и первое, на что он обратил внимание, было противоречие меду первым и вторым определением. Ему казалось, что, если справедливо второе более общее положение, – должно быть справедливо и первое, являющееся частным случаем второго. На деле же оказалось не так. Примененные к движениям шаров по СА и СВ, эти определения дали противоречащие результаты:

«Скорости тел, падающих по СА и СВ, не равны».

«Скорости тел, падающих по СА и СВ, равны».

Второе определение, полученное из первого путем, казалось бы, безобидного перехода, отрицает первое, являющееся его частным случаем, и, наоборот, первое отрицает второе. Обозначим время падения шара через t (по СВ). За это время шар, движущийся по СА, достигает D:

Рис. 5

СD не равно СВ, и поэтому отношение на этих отрезках не удовлетворяется. Возьмем на СА отрезок СЕ, равный СВ. Пусть время движения шара по СЕ равно t1. Время падения шара по СВ, равному СЕ, не равно t1, и отношение опять не удовлетворено. И в то же время имеются такие положения в движении шаров по СА и СВ, когда .

Здесь абстрактно-логическое знание вступает в противоречие со знанием чувственным. Нам кажется – «мы чувствуем», что движение по вертикали совершается скорее, чем движение по наклонной, а абстрактное знание говорит нам, что эти движения равноскоростны. Таким образом, абстрактно-логическая форма понятия скорости отрывается от тех чувственных образов и представлений, на которых основывалась абстракция скорости. В первой главе нашей работы мы говорили в общей форме об отношении понятий и абстракций к чувственным образам. Во второй главе мы показали, что абстракция «бесконечного» отрицает чувственные образы и попытки наделить бесконечное чувственным существованием, долгое время имевшие место, только приводят к противоречиям.

Здесь мы видим, что абстрактно-логическая форма понятия скорости точно так же на определенной ступени своего развития отрывается от чувственных образов и вступает с ними в противоречие.

Однако причина выявленного Галилеем противоречия не может лежать только в факте определения понятия скорости и обобщения условий равенства скоростей. Если бы мы, пользуясь старым условием равенства скоростей, начали сравнивать движения шаров по СА и СВ, беря отрезки проходимого пути в разных частях СА и СВ, то мы получили бы и при старом определении весьма противоречивые результаты. Скорость падения шара по СВ могла оказаться в одном месте больше скорости падения шара по СА, в другом – равной, в третьем – меньшей. Таким образом, развитие понятия скорости и обобщение условий равенства скоростей не является причиной противоречия, а только формой, которая создает более вероятные условия для проявления этого противоречия.

Причина [противоречия] заключается в том, что понятие скорости, сложившееся из сравнения равномерных движений и однозначно характеризовавшее эти движения, уже не подходит для сравнения и однозначной характеристики неравномерных движений. Оба определения, выдвинутые Галилеем, и оба положения, отражающие конкретное движение двух тел по линям СА и СВ, к которым мы пришли в результате применения этих определений, одновременно и справедливы, и несправедливы. Справедливы в том смысле, что они оба действительны, если мы исходим из определенной формы понятия скорости. Несправедливы в том смысле, что эта определенная форма понятия скорости не дает однозначной характеристики ускоренных движений и для их сравнения требуется другая уточненная форма понятия, имеющая другое содержание. Противоречие, к которому приходит Галилей, заставляет его не отбрасывать одно из противоречащих положений, а развивать понятие, из которого он исходил, заставляет уточнять его содержание и форму.

Прежде всего, Галилей обращает внимание на то, что полученные им результаты зависят от способа сравнения движений, от того, какие отрезки пути он брал. Любое утверждение о скорости тел, падающих по СА и СВ, оказывается не общим положением и приложимо только к уже рассмотренным отрезкам. Скорость оказывается характеристикой относительной, она зависит от того, на каком отрезке мы ее берем^[64].

Дальше этого вывода в развитии этой стороны понятия «скорость» Галилей не пошел^[65], и так как наше исследование ограничивается работами Аристотеля и Галилея, мы должны на этом остановиться.

Скажем только несколько слов, чтобы придать нашей работе законченный характер о тех ближайших выводах, которые были сделаны из работ Галилея.

Как мы уже отмечали, Галилей выдвинул положение о том, что величина скорости неравномерного движения зависит от положения того отрезка пути, на котором эта скорость измеряется. Отсюда сразу напрашивается вывод, что как отрезки бывают двух родов – конечные и «бесконечно малые», так и скорости могут быть двух родов – на конечном отрезке и на «бесконечно малом». Хотя этот вывод напрашивался уже из самих работ Галилея, понятие мгновенной скорости не было сформулировано до тех пор, пока Лейбниц и Ньютон не развили исчисление бесконечно малых и не начали оперировать мгновенными характеристиками. Определение мгновенной и средней скорости завершало процесс расщепления понятия «скорость». Внутри него родилось два новых понятия: «средняя скорость» и «мгновенная скорость».

Рассмотренный нами процесс развития понятия скорости в работах Аристотеля и Галилея можно представить следующим образом. Понятие скорости возникает из сравнения и анализа движения. (Его содержание составляют те отношения между предметами, которые существуют и которые мы создаем в процессе самого анализа и сравнения.) Форма понятия, то есть его определения и вообще те связи, которые возникают между абстракцией «скорость» и другими абстракциями, зависит от тех отношений, в которые поставлены рассматриваемые предметы, то есть зависит от содержания. На первом этапе своего развития понятие скорости, благодаря способу и характеру сравнения движущихся тел, применимо только к равномерным движениям. Этот факт остается долгое время неосознанным, и объем понятия, фактически уже определенный его содержанием и формой, для сознания человека остается неопределенным, или, вернее, неправильно определенным. Благодаря этому сложившееся понятие скорости начинают применять для сравнения и анализа неравномерных движений.

Содержание понятия, то есть свойства предметов и явлений, с которыми понятие соотносится, изменилось, а форма остается прежней. Между новым содержанием и старой формой возникает конфликт, противоречие. ‹…›

Противоречие между старой формой и новым содержанием находит себе выражение в тех противоречивых определениях, которые получил Галилей. Устранение этих противоречий заключено в уточнении и развитии формы исходного понятия в соответствии с новым содержанием.

Система суждений, в которую входят исходные положения, выражающие результаты непосредственного опыта, «самодвижение» понятия, то есть его мысленное развитие, соотнесение развитого понятия с действительностью, с новым содержанием, в результате которого мы получаем противоречивые положения, и вытекающее отсюда новое определение понятия – все это составляет форму движения понятия, иначе – форму движения нашего знания. Эту систему можно было бы представить в следующем виде: