Разобранная система суждений дает нам пример сложной формы движения нашего знания, движения, в ходе которого изменяется как содержание, так и форма наших понятий.

В первой главе нашей работы мы говорили о том, что расщепление абстракций является одним из основных процессов развития нашего знания.

На примере понятия «скорость» мы видим, что это происходит не только с абстракциями, но и с весьма сложными понятиями.

Мы говорили, что к расщеплению абстракции приводят противоречия в суждениях типа: «А есть В», «А не есть В». На примере понятия «скорость» мы видим, что это противоречие имеет место и в развитии сложных понятий, хотя, конечно, проявляется оно в значительно более сложной и насыщенной другими процессами форме.

О некоторых моментах мыслительного процесса в геометрии Евклида

Введение. Задача работы

^[66]

Настоящая работа посвящена изучению мыслительных процессов в геометрии. Чаще всего при такого рода исследованиях на первый план выдвигалось доказательство; иногда оно рассматривалось как единственная и всеобъемлющая форма. В настоящей работе делается попытка подойти к изучению мыслительных процессов в геометрии в несколько ином аспекте.

Мы исходим из того, что доказательство не является начальным звеном в процессе мышления, что оно есть либо форма изложения уже полученного знания, либо некоторый заключительный этап процесса исследования.

Поскольку мы оставляем в стороне сферу доказательства, те понятия, с помощью которых доказательство исследуется, оказываются непригодными, и мы, естественно, должны ввести другие исходные понятия. Приступая к этому, мы должные прежде всего принять во внимание, что мышление есть особого рода деятельность.

Познание человеком природы протекает в форме постановки и решения различных задач. Решение этих задач и есть мыслительная деятельность. Мыслительную деятельность, направленную на решение определенной задачи, мы будем называть мыслительным процессом.

В мыслительном процессе надлежит выделить следующие основные моменты:

1) то, на что направлена мыслительная деятельность, – исходный материал;

2) цель, сообразно которой осуществляется мыслительная деятельность, или задачу познания;

3) само мыслительное действие.

Каждой определенной задаче соответствует определенный способ ее решения.

[Здесь необходимо] ввести понятие операции как результат расчленения данного нам процесса мышления и введения промежуточных задач.

Ряд задач, встающих перед человеком, особенно на ранних ступенях развития общества, могут быть решены с помощью простейших одноактных процессов, или операций. В тех же случаях, когда задача не может быть решена путем одноактного соотнесения мыслимых объектов, ее приходится приводить к виду, в котором она могла бы быть таким образом решена. Эта новая задача опосредует исходную задачу. Такое опосредствование может осуществляться сколько угодно раз – сообразно условиям задачи. Мыслительное действие благодаря этому превращается в сложное образование. Его структура определяется 1) исходным материалом, 2) целью, или задачей, 3) уровнем развития мышления (знания и процессов познания).

Исходя из вышеизложенного, мы будем рассматривать каждый определенный мыслительный процесс в геометрии Евклида^[67] в зависимости от его исходного материала и задачи. Мы будем производить расчленение каждого сложного мыслительного процесса на составляющие его части – на мыслительные операции. Когда же задача разложения мыслительных процессов на составляющие будет решена, мы рассмотрим связь между операциями с тем, чтобы установить зависимость между характером мыслительных процессов и познаваемых посредством них объектов. Другими словами, мы будем стремиться выявить, каким образом закономерности процессов мышления зависят от характера познаваемых объектов.

Основные моменты опосредования

§ 1. Геометрия как система опосредствующих задач

Перед людьми в их практической деятельности неоднократно вставали различные задачи измерения^[68]. Примерами таких задач являются задачи измерения расстояний, площадей земельных участков, вместимости сосудов и т. д. Решение подобного рода задач состоит в том, что мы одну из длин, площадей, вместимостей выражаем в другой длине, площади, вместимости. В простейших случаях эта задача решается путем чувственно-практической операции. Однако в ряде случаев, при определенном исходном материале, она подобным образом не может быть решена. Тогда приходится находить опосредствующие задачи и приводить исходный материал к такому виду, в котором данная задача могла бы быть решена.

Однако мы не можем искать совокупность опосредствующих задач для каждого практически данного единичного случая. Это сделало бы невозможным как познание, так и практическую деятельность. В этих условиях и возникает теория. С определенной, необходимой нам в данном случае точки зрения, теория выступает как обобщенная и упорядоченная совокупность способов решения опосредствующих задач.

Однако построение теории как таковой, то есть обобщение и систематизация способов решения различных задач невозможны без группировки, обобщения и систематизации самих задач. В свою очередь, обобщить задачи невозможно без обобщения объекта познания. Обобщение объекта познания достигается за счет абстрагирования некоторых свойств объективной действительности. В результате такой абстракции и обобщения мы получим геометрические фигуры: треугольники, линии, круги, пирамиды и т. п. Все эти абстракции суть объекты теории, или идеальные объекты.

§ 2. Связи в опосредствовании

Попробуем на одном простом примере рассмотреть смысл и назначение опосредствующих задач.

Пусть перед нами два отрезка прямой и надо один измерить другим. В этом случае измерение может быть выполнено путем непосредственного наложения [одного отрезка на другой]. Пусть теперь один из отрезков будет прямолинейный, а другой – криволинейный. В первом случае они, очевидно, качественно одинаковы в таком свойстве, от которого зависит процесс непосредственного измерения. Во втором же – они различны в этом свойстве.

Чтобы выполнить измерение во втором случае, мы должны как-то преобразовать исследуемый объект: кривую изобразить в виде прямой. Произведя это преобразование, мы получим три связанные друг с другом объекта. Кривая и исходная прямая связаны друг с другом лишь по одному свойству – как линии, – которое, взятое изолированно, само по себе еще не гарантирует возможности произвести измерение путем непосредственного наложения. Прямая, построенная нами путем преобразования исходной кривой, и исходная прямая – эталон, связаны между собой не только по этому свойству – свойству линии вообще, но и по другому свойству – как прямые линии. Кривая и замещающая ее прямая линии связаны лишь по количественному свойству: по величине их длин кривая и замещающая ее прямая равноценны, равнозначны, то есть могут замещать друг друга в этом процессе, не меняя его результата.

С точки зрения процесса измерения, то есть с точки зрения определения длины, такую связь объектов мы будем называть эквивалентной, или связью эквивалентности. В эквивалентной связи объекты выступают, во-первых, как одинаковые (их одинаковость дает возможность производить замещение одного другим), во-вторых, как различные (это различие также является предпосылкой и условием замещения: без него последнее было бы бессмысленным. То есть в эквивалентной связи объекты выступают в двоякой форме: как одинаковые и как различные.

Таким образом, эквивалентность есть такая связь, которая при решении определенной задачи позволяет один объект замещать другим, вообще говоря, отличным от первого^[69].

Естественно, что дальше встает вопрос: когда, то есть при каких условиях и как можно производить это замещение? И вся геометрия в этой связи может быть рассмотрена как наука об условиях и правилах эквивалентного замещения.

Основные мыслительные операции

§ 1. Операция задания^[70]

Операцией задания называется такая мыслительная операция, путем которой объекты задаются в некоторой связи. Например, в задаче на построение параллелограмма, равновеликого данному треугольнику, параллелограмм и треугольник задаются в количественной связи. Они задаются как количественно тождественные. Но от количественной связи мы не можем переходить непосредственно к качественной. Нам же такой переход необходим с тем, чтобы в дальнейшем перейти от качественной связи к качественной определенности параллелограмма как отдельного [объекта]. Как это сделать?

Мы можем выбрать любую качественную связь треугольника и параллелограмма и от нее прийти к количественной. Такой качественной связью может быть, например, расположение треугольника и параллелограмма. Пусть треугольник и параллелограмм находятся на одном и том же основании и между теми же параллельными.

Мы задаем, таким образом, треугольник и параллелограмм в некоторой качественной связи. Путем дальнейшего мышления мы приходим к количественной связи.

Задаваться объекты могут в количественных и в качественных связях равным образом. Задание различается по способу на количественное и качественное.

Качественно объекты могут быть заданы трояким образом:

1. Объекты могут быть заданы через связь некоторых своих элементов. Например, пусть два треугольника имеют две стороны с равными углами между ними.

2. Два объекта могут быть заданы относительно третьего. Например, две прямые, параллельные третьей прямой.

3. Наконец, объекты могут быть заданы и относительно своих элементов, и относительно другого какого-либо объекта (или нескольких объектов).

§ 2. Операция сравнения

Когда же объекты заданы в некоторой качественной связи, нам необходимо выявить некоторую их количественную связь.

Операция, путем которой мы, выражая один из качественно тождественных объектов в другом, получаем количественное определение первого относительно второго, называется сравнением.

Так, например, если нам даны треугольники на одном и том же основании и между теми же параллельными, то мы можем определить их количественную связь.

Рассмотрим простейший случай определения количественной связи.

Пусть нам даны два треугольника. Пусть у каждого из этих треугольников две стороны и угол между ними равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника. Путем наложения определяется количественное их определение друг относительно друга.

Операция сравнения в непосредственно-чувственной форме выполнима, если: 1) сравниваемые качественно тождественны, 2) сравниваемые обладают простейшей структурой, 3) сравниваемые могут быть перемещаемыми в пространстве.

Однако эти три условия не всегда соблюдены в самих объектах, тогда приходится прибегать к некоторым другим способам решения задачи. Один из наиболее распространенных способов мы и рассмотрим в следующем параграфе.

§ 3. Операция извлечения

В случаях, когда сравнение невыполнимо в непосредственно-чувственной форме, мы прибегаем к особой операции, называемой извлечением. В этом случае мы должны иметь, кроме сравниваемых объектов, некоторое понятие.