Безусловные зависящие от времени нелинейные деривативы

■ Безусловные зависящие от времени нелинейные деривативы представляют собой инструменты, которые имеют выпуклый, вогнутый или смешанный профиль (по отношению к базовому активу), но не являются опционами (т. е. не зависят от наступления условия и предполагают обязательства для обеих сторон).

Например, небезызвестная ставка во второй степени на LIBOR (лондонская межбанковская ставка)^[15] является наглядным примером такой выпуклости. Ставка в третьей степени LIBOR будет иметь третью производную (выпуклость кривизны), но данный продукт не получил распространения. Однако, несмотря на схожие с опционами выплаты, эти инструменты не являются опционом, поскольку обе стороны обязаны обмениваться выплатами. Странность данного инструмента заключается в том, что выплаты выпуклые выше определенной точки и вогнутые ниже, или наоборот. Ускорение положительной отдачи, с одной стороны, уравновешивается ускорением отрицательной отдачи – с другой.

Пример. Elevator Bank продает своим клиентам в районе Цинциннати, штат Огайо, финансовую ноту, по которой ее владельцу выплачивается квадрат движения процентной ставки (между началом действия ноты и заданным моментом времени в будущем). Таким образом, клиент, обеспокоенный низкими процентными ставками, получает ускоренную компенсацию против дальнейшего снижения ставки. Нота выглядит как опцион и, являясь (как кажется) трудно хеджируемой, будет продаваться дороже своей «справедливой» стоимости.

Мастер опционов: принцип загрязнения и LIBOR-квадрат

LIBOR-квадрат – это контракт со смешанным профилем выплат (выпуклым в одном интервале и вогнутым в другом). В начальной точке (в момент заключения) он не имеет ни выпуклости, ни вогнутости. Согласно принципу загрязнения, цена контракта должна быть выше, чем его теоретическая стоимость в зонах с длинной гаммой и ниже в зонах с короткой гаммой^[16].

По контракту выплачивается:

q(x – x0)2, если x > x0;

– q(x – x0)2, если x < x0,

где q – количество, x0 – начальная точка, x – текущее значение ставки LIBOR.

Таким образом, его дельта:

2q(x – x0), если x > x0;

– 2q(x – x0), если x < x0.

А значение гаммы:

2q, если x > x0;

– 2q, если x < x0.

На рисунке ниже показан процесс оценки.

Далее при обсуждении торговли опционами мы проясним суть данного явления – покупка и продажа базового актива определяют стоимость любого дериватива в зависимости от его дельта-нейтральной репликации.

Опционы и другие вероятностные контракты

Цена опционов зависит от непредвиденных событий. Им посвящена значительная часть настоящего исследования. Они являются темой этой книги. Своп – это линейный дериватив, а своп, зависящий от пути (path-dependent swap), имеет неопределенный (точно не известный) профиль выплат. В прошлом биржевики определяли эти контракты как инструменты с опциональностью, когда одна сторона имела право выбора, а для другой условия контракта были обязательством.

Мы будем изучать опционы на двух уровнях. Уровень 1 – это традиционное представление продукта, как будто рынков экзотических опционов не существует. На уровне 2 мы перейдем к более общему рассмотрению опционных рынков, включая как ванильные, так и экзотические инструменты (глава 2).

Простые опционы

Опционы представляют собой условные требования и, таким образом, отличаются от других продуктов тем, что являются потенциальным активом для одной стороны и потенциальным обязательством для другой. Эта условность стоимости делает их объектом теории вероятности. Таким образом, ценообразование опционов является вероятностным.

■ Опцион пут – это право продать инструмент по определенной цене (цена страйк) в течение определенного времени. Опцион колл – это право купить инструмент.

С появлением множества новых инструментов разделение опционов на пут и колл утратило четкость. Во многих случаях оно зависит от расчетов или единицы измерения. Для валютной пары опцион пут на немецкую марку/доллар (право продать марки и купить доллары) аналогичен опциону колл на доллар/марку. Аналогично пут на доходность облигаций – это колл на цену облигации, что вызывает замешательство, поскольку одна из известных бирж определила спецификацию опциона как контракт на доходность облигации (таким образом, создав новый актив), в то время как большинство денежных инструментов торгуются в соответствии с их ценой.

Интересным дополнением к этому является то, что опцион колл на SP500 – это опцион пут на денежные средства для того, чей финансовый результат (прибыль или убыток) вычисляется в пунктах SP500 (как в случае с менеджерами индексных фондов). Подробнее об этом будет рассказано позже.

■ Европейский опцион может быть исполнен только в последний торговый день. Американский опцион может быть исполнен в любое время между датой начала его действия и датой его истечения. Гибридный, бермудский опцион^[17] может быть исполнен в заранее определенные дни между датой начала действия и датой экспирации.

■ Внутренняя стоимость опциона колл (или та часть цены опциона, которая находится в деньгах (in-the-money)) – это разница между ценой базового актива и ценой исполнения (страйк), если она положительна. Внутренняя стоимость равна нулю, если разница отрицательна. У опциона пут все наоборот. Для европейского опциона (опцион, который может исполняться только в одну дату) внутренняя стоимость обычно характеризуется трейдерами (по определению) как разница между ценой исполнения и соответствующим форвардом. Поскольку опцион не исполняется до истечения его срока, единственной ценой, которая имеет значение, является рыночная цена актива (для поставки на дату экспирации).

Лучший способ интуитивно понять, является ли производный инструмент опционом, – это посмотреть, является ли его профиль выплат асимметричным и есть ли у этого инструмента цена исполнения (страйк) (рис. 1.3). Цена опциона колл на дату экспирации определяется как:

Max (S – K, 0),

где S – цена базового актива на дату экспирации, а K – цена исполнения (страйк). Иными словами, цена опциона – это наибольшая из разниц между ценой базового актива на дату экспирации и страйком или нулем^[18].

Эта простая формула означает, что владелец получает некоторую сумму (внутреннюю стоимость) или ничего в зависимости от того, что больше. S – K в формуле – это разница между ценой спот (ценой базового актива) и страйком. Когда она отрицательна, трейдер предпочитает не исполнять опцион^[19].

Для опциона пут формула выглядит следующим образом:

Max (K – S, 0).

■ Форварды и фьючерсы – это контракты, подразумевающие безусловный обмен актива в заранее установленную дату по согласованной цене.

Эти инструменты представляют собой прямые требования с активами и обязательствами с двух сторон (в отличие от опционов, где одна сторона имеет право, а другая – обязательство). Они также отличаются от опционов тем, что выплата не дает ни одной из сторон возможности выбора. Как будет показано позже, некоторые незначительные технические детали в спецификациях фьючерсных контрактов (реально незначительные), таких как фьючерсы на облигации^[20], породили целую кустарную индустрию арбитражеров, аналитиков и т. п.

Другой способ понять опцион – думать о нем как о половинке фьючерса или форварда. Мы получаем прибыльную половину графика в длинной позиции (выше определенной точки, называемой ценой исполнения) или прибыльную половину в короткой позиции. За такую возможность мы платим премию. Неудивительно, что длинная позиция в опционе пут и короткая в опционе колл повторяет фьючерс^[21] (конечно, возникают вопросы досрочного исполнения, которые мы поначалу игнорируем).

Опционы присутствуют и в нашей повседневной жизни. Какие-то из них являются длинными (в которых есть выбор), а какие-то – короткими. Генеральный директор, в силу своего положения, имеет возможность выбора. Он может принять участие в росте компании и получить бонус, когда показатели компании являются приемлемыми. Если отрасль переживает спад и компания обанкротится, то единственным риском для генерального директора будет потеря работы и неприятная, но в остальном безобидная критика. Его не попросят предстать перед советом директоров с чековой книжкой на руках. Легко заметить, что цена исполнения бонуса – это достижение требуемых результатов и продажа акционерами (или, вернее, предоставление) этого опциона менеджеру^[22].

Форварды, опционы и фьючерсы представляют основную массу производных инструментов.

Жесткая и мягкая опциональность

■ Опциональность – это широкий термин, используемый трейдерами для описания нелинейности выплат финансового инструмента. Он часто применяется к выпуклым по выплатам инструментам. Также он может применяться к ордерам, таким как стоп-лосс. В дополнение к принципу загрязнения каждый инструмент с опциональностью должен торговаться с премией, которая уменьшается со временем (из-за сужения вероятности наступления событий). Это означает, что каждый инструмент с опциональностью подвержен временно́му распаду.

Жесткой опциональностью называют ситуацию, когда у контракта есть цена исполнения. В свою очередь, мягкой опциональностью считается ситуация, когда у контракта есть встроенная выпуклость, но нет реальной цены исполнения. Мягкой опциональности обычно свойственна более мягкая гамма и другие греки. Также для нее характерны более стабильные во времени характеристики.

Базовые правила опционной эквивалентности

Ниже приведены базовые правила того, что трейдеры называют «опционной алгеброй».

● Паритет пут-колл для европейского опциона: длинный колл / короткий пут = длинный форвард, при условии, что их цены исполнения одинаковы.

Предупреждение об истечении срока действия. Пин-риск (описанный в главе 13) приводит к нарушению паритета пут-колл для котируемых опционов.

Обозначение длинной позиции знаком «+», а короткой – знаком «–» позволяет перейти к следующей простой арифметике.

Эквивалентность позиций:

+С – P = F. Длинный форвард равен позиции «длинный колл / короткий пут» с одинаковым страйком.

Следовательно:

+C = P + F. Длинный колл эквивалентен позиции «длинный пут / длинный форвард».

А также:

+P = C – F. Длинный пут эквивалентен позиции «длинный колл / короткий форвард».

● Для мягкого американского опциона (см. определение ниже в этой главе) правило паритета пут-колл соблюдается, но не так строго.

● Для жестких американских опционов правило становится менее четким. Более сложные правила описаны в главе 15. В соответствии с ними неспециалистам рекомендуется полностью игнорировать паритет пут-колл.

Пример. Предположим, что 3-месячный 102 пут торгуется по $1,975, 3-месячный 102 колл торгуется по $2,9625, а форвард с поставкой на дату экспирации для обеих сделок торгуется по 101,00.

На дату экспирации при финансировании по ставке 5 % колл будет стоить $1,975 × 0,05 × (90/360) = $0,025, а пут – $0,0375. В этом случае мы получим распределение прибыли-убытка как в табл. 1.1.

Табл. 1.1 показывает профиль позиции на дату экспирации. Если две сделки эквивалентны на экспирацию на всем множестве возможных цен базового актива и имеют одну и ту же дату экспирации, то данные позиции характеризуются одинаковым риском и профилем прибыли/убытка на всем протяжении их жизни.