Законы вероятности

Два основных принципа вероятности легко объяснить с помощью карточных примеров. В колоде всего 52 карты, или 4 масти по 13 карт каждая. Вероятность вытащить определенную карту в любой момент равна 1/52. Точно так же шансы на вытаскивание конкретной масти или карты определенного старшинства составляют 1/4 и 1/13 соответственно. Вероятность любой из трех этих возможностей равна сумме их индивидуальных вероятностей. Это называется законом сложения вероятностей. Вероятность успеха в выборе карты по старшинству, масти или какой-то определенной карты (т. е. десятки, пиковой карты или дамы червей) равнP

Другой основной принцип – закон умножения – гласит, что вероятность одновременного или поочередного наступления двух событий равна произведению их вероятностей. Вероятность вытаскивания из одной и той же колоды тройки любой масти и любой крестовой карты в два последовательных приема (каждый раз возвращая вынутую карту в колоду) или одновременного вытаскивания одинаковых карт из двух колод равна

Суммарная и безусловная вероятность

С движением цен не все так ясно, как с колодой карт. Между последовательными событиями нередко существует взаимосвязь. Например, в течение двух любых взятых подряд дней цены могут иметь только одну из следующих последовательностей, или суммарных событий: (вверх, вверх), (вниз, вниз), (вверх, вниз), (вниз, вверх), при этом суммарные вероятности этих последовательностей равны 0,40, 0,10, 0,35 и 0,15 соответственно. В данном примере наиболее вероятно, что цены будут расти. Безусловная вероятность повышения цен в первый день показана в табл. 2.4, где видно, что существует 75 %-ная вероятность повышения цен в первый день и 55 %-ная вероятность повышения цен во второй день.

Таблица 2.4. Безусловная вероятность

Условная вероятность

Какова вероятность результата, «обусловленного» результатом предшествующего события? В примере с суммарной вероятностью это может быть вероятность повышения цены во второй день после снижения в первый. Формула для этой ситуации (вероятность А, обусловленная B) выглядит следующим образом:

откуда

Вероятность повышения цен в день 1 или в день 2 равна:

P(любой день) = P(вверх в день 1) + Р(вверх в день 2) – Р(вверх в день 1 и вверх в день 2) = 0,75 + 0,55 – 0,40 = 0,90.

Цепи Маркова

Если мы считаем, что сегодняшнее движение цен до некоторой степени основано на том, что случилось вчера, то получаем ситуацию, получившую название условная вероятность. Ее можно выразить как марковский процесс, или цепь Маркова. Результаты цепи Маркова выражают вероятность возникновения какого-то состояния или условия. Например, возможность наступления завтра ясного, облачного или дождливого дня можно связать с сегодняшней погодой.

Матрица переходов дает комбинации зависимых возможностей. В нашем примере с предсказанием погоды существует 70 %-ная вероятность того, что за ясным днем последует еще один ясный день, 25 %-ная вероятность облачного дня и только 5 %-ная вероятность дождя. В табл. 2.5 каждая возможная сегодня погода указана слева, а вероятность ее изменения завтра – в столбцах справа. Сумма каждой строки равна 100 %, т. е. отражает все комбинации погоды. Взаимосвязь между этими событиями можно показать в виде непрерывной сети (см. рис. 2.11).

Таблица 2.5. Матрица переходов

Рис. 2.11. Сеть вероятностей

Марковский процесс может привести сложную взаимосвязь к более простой форме. Для начала рассмотрим процесс с двумя состояниями. Если взять в качестве примера рынки, то какова вероятность роста или снижения цены после дня, закрывшегося ростом, или дня, закрывшегося снижением? Если после дня роста существует 70 %-ная вероятность продолжения роста, а после дня снижения есть 55 %-ная вероятность роста, то какова вероятность того, что любой день будет закрываться ростом?

Начнем с дня роста или снижения и рассчитаем вероятность движения вверх или вниз на следующий день. Это сделать легко, надо просто подсчитать количество случаев, приведенных в табл. 2.6, а, и затем разделить результат для получения процентов, как показано в табл. 2.6, б.

Таблица 2.6, а. Подсчет количества дней роста и снижения

Таблица 2.6, б. Начало матрицы переходов

Поскольку первый день может определяться или как день роста, или как день снижения, он является исключением из общего правила, и ему присваивается вес 50 %. Вероятность того, каким будет второй день – днем роста или снижения, – представляет собой сумму совместных вероятностей:

P(вверх)2 = (0,50 × 0,70) + (0,50 × 0,55)= 0,625.

Вероятность того, что второй день закроется ростом, составляет 62,5 %. Продолжая в том же духе, используем вероятность дня роста (0,625) и дня снижения (0,375), чтобы рассчитать вероятность движения в третий день

P(вверх)3 = (0,625 × 0,70) + (0,375 × 0,55) = 0,64375

и четвертый день

P(вверх)4 = (0,64375 × 0,70) + (0,35625 × 0,55) = 0,64656,

который, как теперь уже можно видеть, демонстрирует схождение. Чтобы обобщить вероятность появления дня роста, посмотрим, что произойдет в день i:

P(вверх)i = [P(вверх)i – 1 × 0,70] + [(1 – P(вверх)i – 1 × 0,55].

Из-за схождения вероятностей мы получаем

P(вверх)i+1 = P(вверх)i,

что можно использовать для решения уравнения

P(вверх)i = [P(вверх)i × 0,70] + [0,55 – P(вверх)i × 0,55],

что дает вероятность того, что любой день в условиях восходящего тренда закончится с ростом, равным

P(вверх)i = 0,64705.

Мы можем найти вероятность появления дня роста или снижения в условиях 5-дневного тренда, просто подставив соответствующее направление 5-дневного тренда (или n-дневного тренда) вместо направления предыдущего дня, показанного в только что приведенном примере.

Предсказание погоды – более сложный случай множественного схождения ситуаций, оно очень хорошо демонстрирует, как новые цены реагируют на старые. Подходя к задаче так же, как в случае с двумя состояниями, присвоим вероятность, равную 1/3, каждой возможной ситуации первого дня. Тогда вероятности второго дня будут равны

P(ясно)2 = (0,333 × 0,70) + (0,333 × 0,20) + (0,333 × 0,20) = 0,3663;

P(облачно)2 = (0,333 × 0,25) + (0,333 × 0,60) + (0,333 × 0,40) = 0,41625;

P(дождь)2 = (0,333 × 0,05) + (0,333 × 0,20) + (0,333 × 0,40) = 0,21645.

Затем, используя результаты второго дня, получаем вероятности третьего

P(ясно)3 = (0,3663 × 0,70) + (0,41625 × 0,20) + (0,21645 × 0,20) = 0,38295;

P(облачно)3 = (0,3663 × 0,25) + (0,41625 × 0,60) + (0,21645 × 0,40) = 0,42791;

P(дождь)3 = (0,3663 × 0,05) + (0,41625 × 0,20) + (0,21645 × 0,40) = 0,18815.

Общая форма решения этих трех уравнений выглядит так

P(ясно)i+1 = [P(ясно)i × 0,70] + [P(облачно)i × 0,20] + [P(дождь)i × 0,20];

P(облачно)i+1 = [P(ясно)i × 0,25] + [P(облачно)i × 0,60] + [P(дождь)i × 0,40];

P(дождь)i+1 = [P(ясно)i × 0,05] + [P(облачно)i × 0,20] + [P(дождь)i × 0,40],

где каждый элемент i + 1 можно установить равным соответствующему значению i. Таким образом, мы имеем три уравнения с тремя неизвестными, которые могут быть решены прямо или методом матричного умножения, как показано в приложении 2 на сопутствующем веб-сайте . Или же можно использовать дополнительное уравнение

P(ясно)i + P(облачно)i + P(дождь)i = 1,00.

Получаем следующие результаты

P(ясно) = 0,400;

P(облачно) = 0,425;

P(дождь) = 0,175.

Теорема Байеса

Хотя и существуют исторические обобщения исходов событий, конкретная ситуация на текущем рынке может изменять вероятности. Теорема Байеса объединяет расчеты априорной вероятности с вероятностью нового события (основанной на надежности новой информации), позволяя получить апостериорную, или исправленную, вероятность:

Предположим, что оба изменения цены, P(вверх) и P(вниз), являются априорными вероятностями, и при этом ожидается, что вероятность нового события, например отчет об уровне безработицы, внешнеторговом балансе, урожае зерновых, складских запасах или объявление ФРС процентных ставок, окажет на завтрашнее движение преобладающее влияние. Отсюда появляется формула новой вероятности P(вверх | новое событие):

где вверх и вниз являются первоначальными историческими вероятностями.

Теорема Байеса позволяет найти условную вероятность, даже если совместная и безусловная вероятности неизвестны. Новая вероятность P(вверх | новое событие) рассчитывается следующим образом:

где

P(новое событие | вверх) – вероятность того, что новое событие окажется правильным предиктором восходящего движения;

P(новое событие | вниз) – вероятность того, что цены пойдут вниз, когда новое событие покажет вверх.

Например, если имеется 80 %-ная вероятность того, что снижение процентных ставок на четверть процента вызовет рост цен акций, то

P(новое событие | вверх) = 0,80, а P(новое событие | вниз) = 0,20.

Спрос и предложение

Торговые системы не всегда строятся на скользящих средних и импульсных индикаторах. Арбитраж является крупным центром прибыли для финансовых институтов. Бо́льшая часть арбитража основана на поиске разницы в ценах на схожих рынках акций или фьючерсов, соответственно есть аналитики, которые сосредоточены на определении «справедливой стоимости» товара. Это позволяет им покупать, когда текущая цена ниже справедливой стоимости, и продавать, когда она выше. Чтобы понять и построить техническую или эконометрическую модель для оценки справедливой стоимости, требуется знание основ спроса и предложения. В этом разделе мы коротко рассмотрим эти фундаментальные факторы.

Цена представляет собой точку равновесия спроса и предложения. Чтобы рассчитать будущую цену любого продукта или объяснить ее исторические модели, необходимо соотнести факторы спроса и предложения и затем учесть инфляцию, технический прогресс и другие индикаторы, обычные в эконометрическом анализе. Эти факторы кратко описываются в следующих разделах.

Спрос

Спрос на продукт снижается по мере повышения цены. Темпы снижения всегда зависят от потребности в продукте и наличия его заместителей, предлагаемых по другой цене. На рис. 2.12, a прямая D представляет нормальный спрос на продукт в течение некоторого фиксированного периода. Когда цена повышается, спрос снижается. D' представляет повышение спроса, приводящее к повышению цен на всех уровнях.

В большинстве случаев соотношение спроса и предложения выражается не прямой линией. Себестоимость продукции и минимальный спрос не позволяют кривой достичь нуля – вместо этого она приближается к минимальному уровню цен. Этот эффект виден и в более раннем примере плотности распределения цен на пшеницу на рис. 2.3, где левая сторона распределения (более низкая цена) резко снижается.

Это также видно на рис. 2.12, б, где 100 представляет себестоимость производства. Кривая спроса, таким образом, показывает скорость, с которой количественное изменение спроса вызывает изменение цены. Заметьте, что, хотя производителю невыгодна продажа ниже 100, отсутствие спроса и потребность в доходе могут заставить его продавать в убыток. Если вы трейдер, не ждите, что цены перестанут идти вниз при достижении точки, когда производитель начинает терять деньги.

На другом конце шкалы (более высокая цена) наблюдается задержка реакции на повышение цен – потребители не склонны сокращать объемы закупки даже при более высоких ценах (это называется «неэластичный спрос»). Широко известным примером неэластичного спроса является кофе – большинство кофеманов предпочитают платить рыночную цену, а не сокращать потребление.

Рис. 2.12: а) изменение спроса; б) кривая спроса с экстремумами