Бесконечная сила - Стивен Строгац

Очевидно, что ответ отрицателен, потому что в загадке стены на каждом этапе вы проходите только половину пути, а не весь путь. Сделаете ли вы десять шагов, миллион или любое другое число, между вами и стеной всегда останется какой-то промежуток. Однако столь же очевидно, что вы можете подойти к стене сколь угодно близко. Это означает, что на каком-то этапе вы окажетесь от нее в сантиметре, миллиметре, нанометре или на любом ином ненулевом расстоянии, но никогда не закончите свой путь. Здесь стена играет роль предела. На то, чтобы строго определить это понятие, понадобилось две тысячи лет. До тех пор пионеры анализа прекрасно обходились интуицией. Так что не волнуйтесь, если пределы кажутся вам сейчас туманными. Мы познакомимся с ними лучше, наблюдая на практике. С современной точки зрения пределы – это фундамент, на котором построен весь анализ.

Если метафора со стеной кажется вам слишком мрачной и негуманной (кому захочется вечно приближаться к недосягаемой стене? ), рассмотрите такую аналогию: все, что движется к какому-то пределу, подобно герою, занятому бесконечным поиском. Это не бесполезное занятие, как бессмысленная задача Сизифа, обреченного вечно вкатывать камень на гору только для того, чтобы увидеть, как он снова скатывается вниз. Когда в математике происходит приближение к пределу (как наши фигуры с выступами приближались к предельному прямоугольнику), это подобно тому, как главный герой стремится к чему-то, что, как он знает, невозможно, но все же надеется на успех, воодушевляясь прогрессом в своих попытках достичь недостижимой звезды.

Притча о 0, 333…

Чтобы подкрепить важные идеи, что в бесконечности все упрощается и что пределы подобны недостижимым целям, возьмем пример из арифметики. Это задача преобразования обыкновенной дроби – например, 1/3 – в десятичную (в нашем случае 1/3 = 0, 333…). Я хорошо помню, как моя школьная учительница математики мисс Стэнтон учила нас это делать. Запомнилось это потому, что она внезапно заговорила о бесконечности.

До этого момента я никогда не слышал, чтобы взрослые говорили о бесконечности. Мои родители определенно этого не делали. Это казалось секретом, о котором знали только дети. На детской площадке о нем постоянно упоминали в насмешках и издевках:

– Ну ты и дурак!

– А ты дурак вдвойне!

– А ты дурак бесконечность раз!

– А ты дурак бесконечность раз плюс один!

– Это то же самое, что бесконечность, идиот!

Такие поучительные разговоры убедили меня в том, что бесконечность ведет себя не так, как обычное число. Она не становится больше, если к ней прибавить 1. Даже добавление бесконечности не поможет. Несокрушимые свойства делали ее окончательным аргументом в дворовых разборках. Побеждает тот, кто применит бесконечность первым.

Однако никто из учителей до мисс Стэнтон не упоминал о бесконечности. Все в нашем классе уже знали о конечных десятичных дробях, используемых для представления денежных сумм, например 10, 28 доллара, где есть две цифры после запятой. Напротив, бесконечные десятичные дроби, где после запятой было бесконечно много чисел, казались странными на первый взгляд, но становились естественными, как только мы начали изучать обыкновенные дроби.

Мы узнали, что дробь 1/3 можно записать как 0, 333…, где многоточие означало, что тройки повторяются до бесконечности. Это имело для меня смысл, потому что, пытаясь поделить 1 на 3 в столбик, я застрял в бесконечном цикле: 1 меньше 3, поэтому получаем в частном ноль целых, дописываем к единице 0, делим 10 на 3, получаем 3 и остаток 1; в итоге нужно снова делить 1 на 3, то есть мы возвращаемся к тому, с чего начали. Выхода из цикла не было, а значит, тройки при делении будут повторяться: 0, 333…

Многоточие после 0, 333 истолковывается двумя способами. Наивное толкование состоит в том, что существует буквально бесконечное количество троек, находящихся справа от десятичной запятой вплотную друг к другу. Конечно, мы не можем записать их все, раз их бесконечно много, но с помощью многоточия показываем, что они там есть, по крайней мере в нашей голове. Я назову такую интерпретацию актуальной бесконечностью Преимущество ее в том, что она выглядит простой и здравой, пока мы не желаем особо задумываться о том, что означает бесконечность.

Более изящное толкование состоит в том, что 0, 333… представляет собой некоторый предел – в точности такой же, как предельный прямоугольник для наших фигур в доказательстве с пиццей или стена для незадачливого путешественника. Только здесь 0, 333… отображает предел последовательных десятичных чисел, которые мы генерируем при делении 1 на 3. Чем больше этапов в процессе деления, тем больше троек в десятичном разложении 1/3. Мы можем получить сколь угодно хорошее приближение к 1/3. Если нам не нравится 1/3? 0, 3, мы можем сделать еще шаг и получить 1/3? 0, 33 и так далее. Я назову это толкование потенциальной бесконечностью Она «потенциальна» в том смысле, что приближения можно получать сколь угодно долго. Ничто не мешает сделать миллион, миллиард или любое иное количество шагов. Преимущество этого толкования в том, что нам незачем прибегать к такому туманному понятию, как бесконечность. Мы всегда можем оставаться в области конечного.

Для работы с равенством вида 1/3 = 0, 333… не имеет значения, какой точки зрения мы придерживаемся. Они одинаково состоятельны и дают одни и те же математические результаты в любых нужных нам вычислениях. Однако в математике существуют ситуации, когда понятие актуальной бесконечности может вызвать логический хаос. Именно это я подразумевал, когда писал во введении о големе бесконечности. Иногда действительно важно, как мы думаем о результатах процесса, приближающегося к какому-то пределу. Делая вид, что процесс в реальности заканчивается и каким-то образом достигает нирваны бесконечности, подчас можно попасть в неприятную ситуацию.

Притча о многоугольнике с бесконечным числом углов

В качестве примера возьмем круг, расставим на его границе (окружности) через равные промежутки определенное количество точек и соединим их отрезками. При трех точках получим равносторонний треугольник, при четырех – квадрат, при пяти – правильный пятиугольник и так далее, последовательно получая все новые правильные многоугольники.

Обратите внимание, что чем больше точек мы используем, тем ближе наш многоугольник к кругу. При этом стороны многоугольников становятся все короче и многочисленнее. Наш круг – предел для построенных многоугольников.

Таким образом, бесконечность снова соединяет два мира. На этот раз она ведет нас от прямолинейности к криволинейности, от угловатых фигур к гладкому кругу, тогда как в случае с пиццей бесконечность, наоборот, преобразовала круг в прямоугольник.